已知函数由方程确定求的极值

题目
已知函数由方程确定求的极值

相似考题

1.设f(x)=xe-x，求函数f(x)的极值（6分）

2.设函数y=y(x)由方程y+arcsinx=ex+y确定。求dy.

3.(本题满分7分)设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyz确定，求δz/δy。

4.求函数y=x-ln(1+x)的极值.

参考答案和解析
答案：
解析：
由,两边分别同时对x，y求偏导数得： 令(3) 得:(4)
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  • 第1题：

    (本题满分8分) 设函数z=z(x，y)是由方程x+y3+z+e2x=1所确定的隐函数，求dz．


    正确答案：

  • 第2题：

    求函数的极值。


    参考答案：

  • 第3题：

    求由方程2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0确定的隐函数的全微分．


    答案：
    解析：

  • 第4题：

    求函数z=x2+y2+2y的极值．


    答案：
    解析：

  • 第5题：

    已知函数(x)=x4-4x+1．
    (1)求(x)的单调区间和极值；
    (2)求曲线y=(x)的凹凸区间．


    答案：
    解析：

    列表如下，



    由表可知曲线(x)的单调递减区间为(-∞，1)，单调递增区间为(1，+∞)．由于"(x)=12x2≥0，所以为凹曲线，凹区间为(-∞，+∞)，极小值为(1)=1-4+1=-2．

  • 第6题：

    求方程 所确定的隐函数的导数


    答案：
    解析：

  • 第7题：

    由方程 确定的函数y=y(x)

    A. 有驻点且为极小值点
    B. 有驻点且为极大值点
    C. 有驻点但不是极值点
    D. 没有驻点

    答案：A
    解析：

  • 第8题：

    已知函数y(x)由方程x^3+y^3-3x+3y-2=0确定，求y(x)的极值.


    答案：
    解析：

  • 第9题：

    已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数.
    　　(Ⅰ)若f(x)=x，求方程的通解.
    　　(Ⅱ)若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解.


    答案：
    解析：
    【解】(Ⅰ)若f(x)=x，则方程为y'+y=x通解为


    (Ⅱ)设y(x)为方程的任意解，则y'(x+T)+y(x+T)=f(x+T).
    而f(x)周期为T，有f(x+T)=f(x).又y'(x)+y(x)=f(x).
    因此y'(x+T)+y(x+T)-y'(x)-y(x)=0，有(e^x［y(x+T)-y(x)］)'=0，
    即e^x［y(x+T)=y(x)］=C.取C=0得y(x+T)-y(x)=0，
    y(x)为唯一以T为周期的解.

  • 第10题：

    已知求，并求的极值。


    答案：
    解析：

  • 第11题：

    求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．


    答案：
    解析：


    列表：


    说明


    【评析】拐点(x0fx0))的坐标如果写成单一值x0或写为单一值fx0)都是错误的．

  • 第12题：

    填空题
    已知函数y＝y（x）由方程ey＋6xy＋x2－1＝0所确定，则y″（0）＝____。

    正确答案： -2
    解析：
    ey＋6xy＋x2－1＝0两边对x求导，得ey·y′＋6xy′＋6y＋2x＝0①。两边再对x求导，得ey·y″＋ey（y′）2＋6xy″＋12y′＋2＝0②。当x＝0时，y＝0，将x＝0，y＝0代入①得y′（0）＝0，再将x＝y＝y′（0）＝0代入②得y″（0）＝－2。

  • 第13题：

    已知消费函数C=30+0.8Y, 投资函数I=60-10r,求IS曲线方程.


    参考答案：产品市场均衡条件为：I=S  S=Y-C=0.2Y-30,  I=60-10r

  • 第14题：

    已知由方程siny+xey，确定y是x的函数，则dy/dx的值是:



    答案：C
    解析：
    提示:式子两边对x求导，把式子中y看作是x的函数，计算如下：



    @##

  • 第15题：

    设函数f(x，y)=X2+Y2+xy+3，求f(x，y)的极值点与极值．


    答案：
    解析：

  • 第16题：

    设z=z(x，y)是由方程x2+y2+z2=ez所确定的隐函数，求dz．


    答案：
    解析：

  • 第17题：

    求函数(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极值．


    答案：
    解析：

    所以(2，-2)=8为极大值．

  • 第18题：

    设z=z(x,y)是由 确定的函数，求 的极值点和极值


    答案：
    解析：

  • 第19题：

    求二元函数的极值。


    答案：
    解析：

  • 第20题：

    设函数y=f(x)由方程y^3+xy^2+x^2y+6=0确定，求f(x)的极值.


    答案：
    解析：

  • 第21题：

    设函数
    (I)求f(χ)的单调区间；
    (Ⅱ)求f(χ)的极值．


    答案：
    解析：

  • 第22题：

    设Z=Z(x，Y)是由方程x+y3+z+e2=1确定的函数，求dz


    答案：
    解析：
    利用隐函数求偏导数公式，记

  • 第23题：

    问答题
    求由方程x2＋y2＋z2－xz－yz－2x－2y＋2z－6＝0确定的函数z＝z（x，y）的极值。

    正确答案：
    先求出函数z的各个偏导:
    由原方程可得,原方程两边对x求导得
    2x+2z·zx′-z-(x+y)zx′-2+2zx′=0①
    原方程两边对y求导得
    2y+2z·zy′-z-(x+y)zy′-2+2zy′=0②
    ①②中,令zx′=0,zy′=0,解得x=(z+2)/2,y=(z+2)/2,将其代入已知方程得Z=±4,故驻点为(3,3)和(-1,-1)。
    ①式两边对x,y分别求导得
    2+2(zx′)2+2zzxx″-2zx′+(2-x-y)zxx″=0③
    2zy′zx′+2zzxy″-zy′-zx′+(2-x-y)zxy″=0④
    ②式两边对y求导得
    2+2(zy′)2+2zzyy″-2zy′+(2-x-y)zyy″=0⑤
    当x=y=-1,z=-4时,zx′=zy′=0,将其代入③④⑤,得A=zxx″(-1,-1)=1/2,B=zxy″(-1,-1)=0,C=zyy″(-1,-1)=1/2,B2-AC=-1/4<0,A=1/2>0。
    则函数z在(-1,-1)处取得极小值z=-4。
    当x=y=3,z=4时,zx′=zy′=0,并将其代入③④⑤,得A=zxx″(3,3)=-1/2,B=zxy″(3,3)=0,C=zyy″(3,3)=-1/2,B2-AC=-1/4<0,A=-1/2<0。
    故z在(3,3)点处取到极大值z=4。
    解析： 暂无解析

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