设A，B为同阶矩阵，且.证明当且仅当

题目

设A，B为同阶矩阵，且

.证明

当且仅当

相似考题

1.设R是X上的二元关系,那么a)R是自反的,当且仅当r(R)=Rb)R是对称的,当且仅当s(R)=Rc)R是传递的,当且仅当t(R)=R。()此题为判断题(对，错)。

2.设，B是三阶非零矩阵，且，则（）.

3.设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m B.r=m C.rD.r≥m

4.设P=,Q为三阶非零矩阵,且PQ=O,则().A.当t=6时,r(Q)=1 B.当t=6时,r(Q)=2 C.当t≠6时,r(Q)=1 D.当t≠6时,r(Q)=2

参考答案和解析

答案：

解析：

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第1题：

设A是三阶矩阵,且｜A｜=4,则=_______.

答案：1、2
解析：
第2题：

设A=,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.

答案：1、2
解析：
因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2.
第3题：

设A,B为同阶方阵, (1)若A,B相似,证明A,B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立

答案：
解析：
第4题：

设A为n阶矩阵,且｜A｜=0,≠0,则AX=0的通解为_______.

答案：
解析：
第5题：

设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得A^k=O.证明：A不可以对角化.

答案：
解析：
第6题：

设A、B、C为同阶矩阵，且C为非奇异矩阵，满足，求证：

答案：
解析：
第7题：

设n阶矩阵A可逆，且detA=a，求，.

答案：
解析：
第8题：

设A，B为三阶矩阵，且满足方程.若矩阵,求矩阵B.

答案：
解析：
第9题：

设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.

答案：
解析：
第10题：

设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且. （Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵A

答案：
解析：
第11题：

问答题
设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。

正确答案：
因为A^m=E,所以,A^m,=,A,^m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A(~)=(A^*)^T,其中A^*为A的伴随矩阵。所以有(A(~))^m=[(A^*)^T]^m=[(,A,A^-¹)^T]^m=[(A^-¹)^T]^m=[(A^m)^-¹]^T=E。
解析：暂无解析
第12题：

填空题
设，B为三阶非零矩阵，且AB＝0，则t＝____。

正确答案： -3
解析：
由B是三阶非零矩阵，且AB＝0，知B的列向量是方程组AB＝0的解且为非零解，故|A|＝0，解得t＝－3。
第13题：

设矩阵是4阶非零矩阵, 且满足证明矩阵B的秩

答案：
解析：
第14题：

设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且

答案：
解析：
第15题：

设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.

答案：
解析：
【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
(1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
(2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.
第16题：

设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.

答案：
解析：
第17题：

设A为三阶矩阵,且｜A｜=4,则=_______.

答案：
解析：
第18题：

设A=图},B≠0为三阶矩阵,且BA=0,则r(B)=_______.{

答案：1、1
解析：
BA=0r(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠0，所以r(B)=1.
第19题：

设A,B为n阶矩阵,且r(A)+r(B)

答案：
解析：
第20题：

设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,

答案：
解析：
第21题：

设B≠O为三阶矩阵,且矩阵B的每个列向量为方程组的解,则k=_______,｜B｜=_______.

答案：1、0
解析：
令，因为B的列向量为方程组的解且B≠0，所以AB=0且方程组有非零解，故|A|=0，解得k=1.因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2小于3，故|B|=0.
第22题：

设A为3阶矩阵．P为3阶可逆矩阵，且
A．
B．
C．
D．

答案：B
解析：
故选B。
第23题：

填空题
设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。

正确答案： -(A+E)/2
解析：
由题设A²＝A有，A²－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）^－¹＝－（A＋E）/2。

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