若向量组α1，α2，α3，α4，α5线性相关，α1，α2，α3线性无关，则矩阵A=（α1，α2，α3，α4，α5)的秩R（A)____.A．R(A)＞3B．R(A)≤5C．3＜R(A)＜5D．3≤R(A)＜5
题目
若向量组α1，α2，α3，α4，α5线性相关，α1，α2，α3线性无关，则矩阵A=（α1，α2，α3，α4，α5)的秩R（A)____.
A．R(A)＞3
B．R(A)≤5
C．3＜R(A)＜5
D．3≤R(A)＜5
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第1题：
设矩阵
，α1，α2，α3为线性无关的3维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为_________.答案：1、2.解析：因(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)，又α，α，α是三维线性无关列向量，所以(α1，α2，α3)为三阶可逆矩阵故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A)=2. -
第2题：
设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（）。
- A、β必可用α1，α2线性表示
- B、α1必可用α2，α3，β线性表示
- C、α1，α2，α3必线性无关
- D、α1，α2，α3必线性相关
正确答案:B -
第3题：
设向量组A：α1=（1，0，5，2），α2=（-2，1，-4，1），α3=（-1，1，t，3），α4=（-2，1，-4，1）线性相关，则t必定等于（）．
- A、1
- B、2
- C、3
- D、任意数
正确答案:D -
第4题：
单选题设向量组A：a1=（1，0，5，2），a2=（-2，1，-4，1），a3=（-1，1，t，3），a4=（-2，1，-4，1）线性相关，则t必定等于（）.A1
B2
C3
D任意数
正确答案： A解析： 暂无解析 -
第5题：
填空题已知向量组（α1，α3），（α1，α3，α4），（α2，α3，）都线性无关，而（α1，α2，α3，α4）线性相关，则向量组（α1，α2，α3，α4）的极大无关组是____.正确答案： (α1,α3,α4)解析：
向量组（α1，α2，α3，α4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α1，α3，α4）线性无关，故知（α1，α3，α4）为其极大线性无关组． -
第6题：
单选题已知向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4线性无关，则（ ）。Aα1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1线性无关
Bα1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1线性无关
Cα1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4－α1线性无关
Dα1＋α2，α2＋α3，α3－α4，α4－α1线性无关
正确答案： D解析：
A项，（α1＋α2）＋（α3＋α4）－（α2＋α3）－（α4＋α1）＝0，知此组向量不一定线性无关；
B项，全部相加为0，此组向量不一定线性相关；
C项，设有数k1，k2，k3，k4，使k1（α1＋α2）＋k2（α2＋α3）＋k3（α3＋α4）＋k4（α4－α1）＝0，即（k1－k4）α1＋（k1＋k2）α2＋（k2＋k3）α3＋（k3＋k4）α4＝0。因α1，α2，α3，α4线性无关，则k1－k4，k1＋k2，k2＋k3，k3＋k4全为0，故k1，k2，k3，k4全为0，所以此组向量线性无关；
D项，因（α1＋α2）－（α2＋α3）＋（α3－α4）＋（α4－α1）＝0。 -
第7题：
单选题设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（ ）。[2012年真题]Aβ必可用α1，α2线性表示
Bα1必可用α2，α3，β线性表示
Cα1，α2，α3必线性无关
Dα1，α2，α3必线性相关
正确答案： B解析：
由α1，α2，β线性相关知，α1，α2，α3，β线性相关。再由α2，α3，β线性无关， α1必可用α2，α3，β线性表示。 -
第8题：
单选题设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（）。Aβ必可用α1，α2线性表示
Bα1必可用α2，α3，β线性表示
Cα1，α2，α3必线性无关
Dα1，α2，α3必线性相关
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第9题：
单选题设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（ ）。A若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关
B若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
C若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关
D若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关
正确答案： A解析：
设有数k1，k2，…，ks，使k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0，则有A（k1α1＋k2α2＋…＋ksαs）＝k1Aα1＋k2Aα2＋…＋ksAαs＝0。因α1，α2，…，αs线性相关，故k1，k2，…，ks不全为0，知Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关。 -
第10题：
设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s答案：A解析：由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即 -
第11题：
设有向量组α1=（2，1，4，3）T，α1=（-1，1，-6，6）T，α3=（-1，-2，2，-9）T，α4=（1，1，-2，7）T，α5=（2，4，4，9）T，则向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩是（）。
- A、1
- B、2
- C、3
- D、4
正确答案:C -
第12题：
单选题设有向量组α(→)1＝（1，－1，1，0），α(→)2＝（1，2，－1，0），α(→)3＝（0，1，1，1），α(→)4＝（2，2，1，1），则以下命题正确的是（ ）。Aα1线性相关
Bα1，α2线性相关
Cα1，α2，α3线性相关
Dα1，α2，α3，α4线性相关
正确答案： D解析：
A项，因α1≠0，故α1线性无关；
B项，因α1，α2坐标不成比例，故α1，α2线性无关；
C项，由r（α1，α2，α3）＝3，故α1，α2，α3线性无关；
D项，因r（α1，α2，α3，α4）＝3，故α1，α2，α3，α4线性相关。 -
第13题：
单选题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（ ）。A必定r＜s
B向量组中任意个数小于r的部分组线性无关
C向量组中任意r个向量线性无关
D若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关
正确答案： A解析：
A项，r可能与s相等；
B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。 -
第14题：
单选题已知向量组α1=（3，2，-5）T，α2=（3，-1，3）T，α3＝（1，－1/3，1）T，α4=（6，-2，6）T，则该向量组的一个极大线性无关组是（ ）。[2013年真题]Aα2，α4
Bα3，α4
Cα1，α2
Dα2，α3
正确答案： B解析： 极大线性无关组的个数即为向量组的秩，线性无关组个数公式为： -
第15题：
问答题设向量组α1，α2，…，α5的秩为r＞0，证明:（1）α1，α2，…，α5中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组；（2）若α1，α2，…，α5中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α1，α2，…，α5的一个极大线性无关组。正确答案：
(1)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多余r个向量的向量组必线性相关,所以
αj1,αj2,…,αjr,αi(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)
线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组.
(2)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价.等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r.又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此①是原向量组的极大线性无关组.解析： 暂无解析 -
第16题：
单选题设向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3线性无关，向量β(→)1可由α(→)1，α(→)2，α(→)3线性表示，而向量β(→)2不能由α(→)1，α(→)2，α(→)3线性表示，则对任意常数，必有（ ）。Aα1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关
Bα1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关
Cα1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关
Dα1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关
正确答案： D解析：
取k＝0则可排除B，C选项，取k＝1则可排除D选项。或根据定义证明α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关。 -
第17题：
单选题已知向量组（α(→)1，α(→)3），（α(→)1，α(→)3，α(→)4），（α(→)2，α(→)3）都线性无关，而（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）线性相关，则向量组（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）的极大无关组是（ ）。A（α1，α2，α3）
B（α1，α2，α4）
C（α1，α3，α4）
D（α2，α3，α4）
正确答案： B解析：
向量组（α1，α2，α3，α4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α1，α3，α4）线性无关，故知（α1，α3，α4）为其极大线性无关组。 -
第18题：
单选题设向量α1、α2、α3线性无关，向量β1可由αl、α2、α3线性表示，向量β2不能由α1、α2、α3线性表示，则对任意常数k必有（ ）.Aα1、α2、α3、kβ1+β2线性无关
Bα1、α2、α3、kβ1+β2线性相关
Cα1、α2、α3、β1+kβ2线性元关
Dα1、α2、α3、β1+kβ2线性相关
正确答案： D解析：
向量组α1，α2，α3，kβ1+β2对任意常数k必线性无关；向量组α1，α2，α3，β1+kβ2，当k=0时，线性相关，当k≠0时，线性无关．