已知二阶实对称矩阵A的特征值是1，A的对应于特征值1的特征向量为（1，－1）T，若|A|＝－1，则A的另一个特征值及其对应的特征向量是（ ）。
题目
已知二阶实对称矩阵A的特征值是1，A的对应于特征值1的特征向量为（1，－1）T，若|A|＝－1，则A的另一个特征值及其对应的特征向量是（ ）。
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第1题：
设A是3阶实对称矩阵，P是3阶可逆矩阵，B=P-1AP，已知α是A的属于特征值λ的特征向量，则B的属于特征值λ的特征向量是：(A) Pα (B) P-1α (C) PTa (D) P(-1)Ta答案：A解析：解：选A。
考察了实对称矩阵的特点，将选项分别代入检验可得到答案。 -
第2题：
设A为三阶实对称矩阵,A的每行元素之和为5,AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值,
对应特征向量为(-1,0,1)^T.
(1)求A的其他特征值与特征向量；
(2)求A.答案：解析：
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第3题：
设A是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A^2－3A=O,设（1,1,-1）t为A的非零特征值对应的特征向量.(1)求A的特征值；(2)求矩阵A.答案：解析：
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第4题：
设2阶矩阵A有两个不同特征值，α1，α2是A的线性无关的特征向量，且满足A^2(α1+α2)=α1+α2，则｜A｜=________.答案：1、-1解析：
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第5题：
设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值-1,1的特征向量，向量a3满足
答案：解析：
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第6题：
设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )。A、λ1=0
B、λ2=0
C、λ1≠0
D、λ2≠0答案：D解析：
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第7题：
设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。
- A、α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
- B、α是矩阵的属于特征值的特征向量
- C、α是矩阵A*的属于特征值的特征向量
- D、α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
正确答案:D -
第8题：
已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则（）。
- A、β是A的属于特征值0的特征向量
- B、α是A的属于特征值0的特征向量
- C、β是A的属于特征值3的特征向量
- D、α是A的属于特征值3的特征向量
正确答案:C -
第9题：
单选题设A是三阶矩阵，α1=（1，0，1）T，α2=（1，1，0）T是A的属于特征值1的特征向量，α3=（0，1，2）T是A的属于特征值-1的特征向量，则：（）Aα1-α2是A的属于特征值1的特征向量
Bα1-α3是A的属于特征值1的特征向量
Cα1-α3是A的属于特征值2的特征向量
Dα1+α2+α3是A的属于特征值1的特征向量
正确答案： A解析： 暂无解析 -
第10题：
问答题证明： （1）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)r是A的属于特征值λ的特征向量，则α(→)1，α(→)2，…，α(→)r的任一个非零线性组合也是A的属于λ的特征向量。 （2）矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不为0。正确答案：
(1)因为α1,α2,…,αr是A的属于特征值λ的特征向量,则有Aαi=λαi(i=1,2,…,r)。设k1α1+k2α2+…+krαr是α1,α2,…,αr的任一非零线性组合,则
A(k1α1+k2α2+…+krαr)=k1Aα1+k2Aα2+…+krAαr=k1λα1+k2λα2+…+krλαr=λ(k1α1+k2α2+…+krαr)
由定义知k1α1+k2α2+…+krαr是A的属于特征值λ的特征向量。
(2)必要性
设矩阵A可逆,可知行列式,A,≠0。
由于,A,=λ1λ2…λn,故λi≠0(i=1,2,…,n)。
充分性
由矩阵A的特征值λi≠0(i=1,2,…,n),知,A,=λ1λ2…λn≠0,即矩阵A可逆。解析： 暂无解析 -
第11题：
单选题（2009）设A是3阶实对称矩阵，P是3阶可逆矩阵，B=P-1AP，已知α是A的属于特征值λ的特征向量，则B的属于特征值λ的特征向量是：（）APα
BP-1α
CPTα
D（P-1）Tα
正确答案： C解析： 暂无解析 -
第12题：
单选题设列向量p=［1，-1，2］T是3阶方阵相应特征值λ的特征向量，则特征值λ等于（）．A3
B5
C7
D不能确定
正确答案： C解析： 暂无解析 -
第13题：
设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，1，1，与特征值－1对应的特征向量x＝（－1，1，1）′，求A答案：解析：
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第14题：
设实对称阵A的特征值为0，2，2，且对应特征值2的两个特征向量为
与
，求.
答案：解析：
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第15题：
设A是n阶矩阵,λ是A的特征值,其对应的特征向量为X,证明：λ^2是λ^3的特征值,X为特征向量,若A^2有特征值λ,其对应的特征向量为X,X是否一定为A的特征向量？说明理由.答案：解析：
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第16题：
设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且.
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵A答案：解析：
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第17题：
已知三维列向量a，β满足aTβ，设3阶矩阵A=βaT，则:A. β是A的属于特征值0的特征向量
B. a是A的属于特征值0的特征向量
C. β是A的属于特征值3的特征向量
D. a是A的属于特征值3的特征向量答案：C解析：提示 通过矩阵的特征值、特征向量的定义判定。只要满足式子Ax=λx，向量x 即为矩阵A对应特征值λ的特征向量。
再利用题目给出的条件：
aTβ=3 ①
A=βaT ②
将等式②两边均乘β，得A*β=βaT*β，变形Aβ=β(aTβ)，代入式①得Aβ=β*3，故Aβ=3*β成立。 -
第18题：
设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是( )。
A. α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
D. α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量答案：D解析：提示：显然A、B、C都是正确的。 -
第19题：
已知λ=2是三阶矩阵A的一个特征值，α1，α2是A的属于λ=2的特征向量。若α1=（1，2，0）T，α2=（1，0，1）T，向量β=（-1，2，-2）T，则Aβ等于（）。
- A、（2，2，1）T
- B、（-1，2，_2）T
- C、（-2，4，-4）T
- D、（-2，-4，4）
正确答案:C -
第20题：
设列向量p=［1，-1，2］T是3阶方阵相应特征值λ的特征向量，则特征值λ等于（）．
- A、3
- B、5
- C、7
- D、不能确定
正确答案:B -
第21题：
单选题设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。Aα是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量
Bα是矩阵的属于特征值的特征向量
Cα是矩阵A*的属于特征值的特征向量
Dα是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第22题：
单选题已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则（）。Aβ是A的属于特征值0的特征向量
Bα是A的属于特征值0的特征向量
Cβ是A的属于特征值3的特征向量
Dα是A的属于特征值3的特征向量
正确答案： D解析： 暂无解析 -
第23题：
问答题设有三个非零的n阶（n≥3）方阵A1、A2、A3，满足Ai2＝Ai（i＝1，2，3），且AiAj＝0（i≠j，i、j＝1，2，3），证明： （1）Ai（i＝1，2，3）的特征值有且仅有0和1； （2）Ai的对应于特征值1的特征向量是Aj的对应于特征值0的特征向量（i≠j）； （3）若α(→)1、α(→)2、α(→)3分别为A1、A2、A3的对应于特征值1的特征向量，则向量组α(→)1、α(→)2、α(→)3线性无关。正确答案：
(1)设λi为矩阵Ai的特征值,αi(αi≠0)是Ai的属于特征值λi的特征向量,则有λiαi=Aiαi=Ai2αi=λiAiαi=λi2αi,所以(λi-λi2)αi=0。
由αi≠0知λi-λi2=0,所以λi=0或1,即若Ai有特征值,则只能是0或1。
由Ai2=Ai得Ai(Ai-E)=0,因为AiAj=0(i≠j)且Ai≠0(i=1,2,3),所以Ai≠E,即Ai-E≠0。所以知Ai的列向量都是齐次线性方程组AiX=0的解,且AiX=0有非零解。
从而,Ai,=0,即,Ai-0E,=0。即0是Ai的特征值,同理可证1也是Ai的特征值。
(2)设Ai属于特征值1的特征向量为αi,则Aiαi=αi,AjAiαi=Ajαi(i≠j)。
因为AiAj=0(i≠j),所以AjAi=0,Ajαi=0αi,故Ai的属于特征值1的特征向量是Aj属于特征值0的特征向量。
(3)设有数k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0,即k1A1α1+k2A1α2+k3A1α3=0,根据(2)可知α2,α3应是A1的属于特征值0的特征向量,即A1α2=0,A1α3=0。
故有k1A1α1=k1·1·α1=k1α1=0,由α1≠0,故k1=0。同理可证k2=k3=0,因此α1、α2、α3线性无关。解析： 暂无解析