证明下列命题：(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，则A*可逆且.(3) 若AA′=E,则.

题目
证明下列命题：(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，则A*可逆且.(3) 若AA′=E,则.

相似考题

1.若A,B,C,为同阶矩阵,且A可逆,则____。A.若AB=AC,则B=CB.若AB=CB,则A=CC.若AB=0,则B=0D.若BC=0，则B=0

2.若矩阵A可逆,则AB与BA相似。()此题为判断题(对，错)。

3.设A、B为同阶可逆矩阵,则下列正确的说法是()。A.A+B可逆B.A-B可逆C.A+B与A-B可逆D.AB可逆

4.若A是____,则A必为方阵。A.对称矩阵B.可逆矩阵C.n阶矩阵的转置矩阵D.线性方程组的系数矩阵

参考答案和解析
答案：
解析：
更多“证明下列命题：(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，则A*可逆且.(3) 若AA′=E,则.”相关问题

  • 第1题：

    设A、B、C均为n阶矩阵,则下列结论或等式成立的是()。

    A、(AB)^2=A^2B^2

    B、若AB=AC且A≠0，则B=C

    C、((A+B)C)^T=C^T(B^T+A^T)

    D、若A≠0且B≠0,则AB≠0


    正确答案：C

  • 第2题：

    设A，B为同阶可逆矩阵，则( )。

    A.AB=BA
    B.
    C.
    D.存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B

    答案：D
    解析：

  • 第3题：

    设a为N阶可逆矩阵，则（ ）.

    A.若AB=CB，则a=C：
    B.
    C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E：
    D.以上都不对.


    答案：C
    解析：

  • 第4题：

    设A，B是n阶方阵，下列命题正确的是( ).

    A.若A，B都是可逆阵，则A+B也是可逆阵
    B.若A+B是可逆阵，则A、B中至少有一个是可逆阵
    C.若AB不是可逆阵，则A、B也都不是可逆阵
    D.

    答案：D
    解析：

  • 第5题：

    设A为n阶矩阵,A^2=A,则下列结论成立的是().

    A.A=O
    B.A=E
    C.若A不可逆,则A=O
    D.若A可逆,则A=E

    答案：D
    解析：
    因为A^2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得，r(A)+r(E—A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D).

  • 第6题：

    设A是3阶矩阵，P=(a1,a2,a3)是3阶可逆矩阵，
    若矩阵Q=(a1,a2,a3)，则Q-1AQ=


    答案：B
    解析：
    提示:当P-1AP=Λ时，P=(a1,a2,a3)中a1,a2,a3的排列满足对应关系，a1对应λ1，a2对应λ2，a3对应λ3，可知a1对应特征值λ1=1，a2对应特征值λ2=2，a3对应特征值λ3=0，由此可

  • 第7题：

    设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且


    答案：
    解析：

  • 第8题：

    证明：若矩阵A可逆,则其逆矩阵必然唯一.


    答案：
    解析：
    【证明】设存在可逆阵B，C，使得AB=AC=E，于是A(B-C)=O，故r(A)+r(B-C)≤n，因为A可逆，所以r(A)=n，从而r(B-C)=0，B-C=O，于是B=C，即A的逆矩阵是唯一的.

  • 第9题：

    设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则



    A.AE-A不可逆，E+A不可逆
    B.E-A不可逆，E+A可逆
    C.E-A可逆，E+A可逆
    D.E-A可逆，E+A不可逆

    答案：C
    解析：
    判断矩阵A可逆通常用定义，或者用充要条件行列式｜A｜≠0(当然｜A｜≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E，(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E，所以，由定义知E-A，E+A均可逆.故选(C).

    【评注】本题用特征值也是简捷的，由A^3=OA的特征值λ=0E-A(或E+A)特征值均不为0｜E-A｜≠0(或｜E+A｜≠0)E-A(或E+A)可逆

  • 第10题：

    设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=0，则( )。

    A.E－A不可逆，E+A不可逆
    B.E—A不可逆。E+A可逆
    C.E—A可逆。E+A可逆
    D.E—A可逆。E十A不可逆

    答案：C
    解析：
    (层_A)(E“+A2)=E-A3趣，(E+A)(E_A+A：)趣+A3翘，故E-A，层+A均可逆。

  • 第11题：

    设A，B是n阶方阵，下列命题正确的是（）．

    • A、若A，B都是可逆阵，则A+B也是可逆阵
    • B、若A+B是可逆阵，则A、B中至少有一个是可逆阵
    • C、若AB不是可逆阵，则A、B也都不是可逆阵
    • D、若ATA=E，则

    正确答案:D

  • 第12题：

    单选题
    设A，B是n阶方阵，下列命题正确的是（）．
    A

    若A，B都是可逆阵，则A+B也是可逆阵

    B

    若A+B是可逆阵，则A、B中至少有一个是可逆阵

    C

    若AB不是可逆阵，则A、B也都不是可逆阵

    D

    若ATA=E，则


    正确答案： D
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是().

    A.若A,B可逆,则A+B可逆
    B.若A,B可逆,则AB可逆
    C.若A+B可逆,则A-B可逆
    D.若A+B可逆,则A,B都可逆

    答案：B
    解析：
    若A，B可逆，则|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，选(B).

  • 第14题：

    设A、B都是n阶方阵，下面结论正确的是

    A.若A、B均可逆，则A+B可逆.
    B.若A、B均可逆，则AB可逆.
    C.若A+B可逆，则A－B可逆.
    D.若A+B可逆，则A，B均可逆.

    答案：B
    解析：

  • 第15题：

    设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则



    答案：D
    解析：

  • 第16题：

    设a为N阶可逆矩阵，则（ ）.

    A.若AB=CB，则a=C
    B.
    C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E
    D.以上都不对


    答案：C
    解析：

  • 第17题：

    设A、B为同阶可逆矩阵，则



    答案：D
    解析：

  • 第18题：

    设A、B都是n阶可逆矩阵，且(AB)2=I，则(BA)2的值为( )。



    答案：A
    解析：
    已知(AB)2=I，即ABAB=I，说明矩阵A可逆，且A-1=BAB，用A右乘上式两端即可得解

  • 第19题：

    设A是n阶矩阵，E+A是可逆矩阵，记，若A按足条件，证明是反对称矩阵。


    答案：
    解析：


  • 第20题：

    设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则



    A.AE-AA^T不可逆
    B.E+AA^T不可逆
    C.E+2AA^T不可逆
    D.E-2AA^T不可逆

    答案：A
    解析：
    A=αα^T是秩为1的矩阵，又α为单位列向量，有α^Tα=1.故矩阵A的特征值为1，0，…，0(n-1个)所以E-αα^T的特征值为0，1，…，1(n-1个)因此矩阵E-αα^T不可逆.应选(A)

  • 第21题：

    设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=O 且r（B）=2，则 |A+4E|=

    A.8
    B.16
    C.2
    D.0

    答案：B
    解析：

  • 第22题：

    设A是3阶矩阵，P = (α1，α2，α3)是3阶可逆矩阵，且，若矩阵Q=(α2，α1，α3),则Q-1AQ=( )。


    答案：B
    解析：
    提示：由条件知，λ1=1，λ2=2，λ3=0是矩阵A的特征值,而α1，α2，α3是对应的特征向量，故有。

  • 第23题：

    判断下列命题是否正确。 （1）若z∈C，则z2≥0； （2）若z1，z2∈C，且z1-z2>0，则z1>z2； （3）若a>b，则a+i>b+i。


    正确答案: （1）错，反例：设z=i则z2=i2=-1<0；
    （2）错，反例：设z1=2+i，z2=1+i，满足z1-z2=1>0，但z1、z2不能比较大小。
    （3）错，因a>b，故a，b∈R，故a+i，b+i都是虚数，不能比较大小。

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