设n阶矩阵A 满足，其中s≠t，证明A可对角化

题目
设n阶矩阵A 满足，其中s≠t，证明A可对角化

相似考题

1.可对角化的矩阵是____。A.实对称阵B.有n个相异特征值的n阶阵C.有n个线性无关的特征向量的n阶方阵

2.设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵.证明：.

3. 设矩阵是4阶非零矩阵, 且满足证明矩阵B的秩

4.设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.

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    设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且


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    设A是n阶正定矩阵,证明:｜E+A｜>1.


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    设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵


    答案：
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    设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.


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    设A为n阶正定矩阵,证明：对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵.


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    设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.


    答案：
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    设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.证明A-E可逆.


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  • 第8题：

    设A是n阶矩阵，E+A是可逆矩阵，记，若A按足条件，证明是反对称矩阵。


    答案：
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  • 第9题：

    设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,


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  • 第10题：

    设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.


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  • 第11题：

    问答题
    设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。

    正确答案：
    因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
    由题知A(~)=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A(~))m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。
    解析： 暂无解析

  • 第12题：

    问答题
    设A＝E－α(→)α(→)T，其中E是n阶单位矩阵，α(→)是n维非零列向量，α(→)T是α(→)的转置。证明：　　（1）A2＝A的充要条件是α(→)Tα(→)＝1；　　（2）当α(→)Tα(→)＝1时，A是不可逆矩阵。

    正确答案：
    (1)必要性:由A=E-α(→)α(→)T,可知
    A2=(E-α(→)α(→)T)(E-α(→)α(→)T)=E-α(→)α(→)T-α(→)α(→)T +(α(→)α(→)T)(α(→)α(→)T)=E-2α(→)α(→)T+α(→)(α(→)Tα(→))α(→)T=E-α(→)α(→)T +(α(→)Tα(→)-1)α(→)α(→)T
    若A2=A=E-α(→)α(→)T,则(α(→)Tα(→)-1)α(→)α(→)T=0,因为α(→)为非零向量,故α(→)α(→)T≠0,所以有α(→)Tα(→)-1=0,即α(→)Tα(→)=1。
    充分性:若α(→)α(→)T=1,即α(→)α(→)T-1=0,则A2=E-α(→)α(→)T+(α(→)Tα(→)-1)α(→)α(→)T=E-α(→)α(→)T=A。
    (2)(反证法)
    若α(→)α(→)T=1,则有A2=A。如果矩阵A可逆,则有A-1A2=A-1A=E,即A=E,这与A=E-α(→)α(→)T相矛盾(由α(→)是n维非零列向量,故α(→)α(→)T≠0),故矩阵A不可逆。
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  • 第13题：

    设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.


    答案：
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    【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
    |bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
    同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
    所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
    (1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
    (2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
    (3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
    方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
    方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
    因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.

  • 第14题：

    设A,B都是N阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是.AB=BA


    答案：
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  • 第15题：

    设Α是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明ΑB可对角化


    答案：
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  • 第16题：

    设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得A^k=O.证明：A不可以对角化.


    答案：
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  • 第17题：

    设3阶矩阵A 满足 ，证明A可对角化


    答案：
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  • 第18题：

    设n阶矩阵A满足，（1）证明A，A+2E，A+4E可逆，并求它们的逆；（2）当时，判断是否可逆，并说明理由。


    答案：
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  • 第19题：

    设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.


    答案：
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  • 第20题：

    设A是m×n阶矩阵,若A^TA=O,证明：A=0.


    答案：
    解析：
    【证明】因为r(A)=r(A^TA)，而A^TA=O，所以r(A)=0，于是A=O.

  • 第21题：

    设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,


    答案：
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  • 第22题：

    单选题
    设n维行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩阵A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于（　　）。
    A

    O

    B

    －E

    C

    E

    D

    E＋αTα


    正确答案： D
    解析：
    注意利用ααT＝1/2来简化计算。AB＝（E－αTα）（E＋2αTα）＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα＝E＋αTα－2αT（ααT）α＝E＋αTα－2·（1/2）αTα＝E。

  • 第23题：

    问答题
    设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量，证明A是对称矩阵。

    正确答案：
    设A的n个两两正交的特征向量为α(→)1,α(→)2,…,α(→)n,其对应的特征值依次为λ1,λ2,…,λn。
    令ξ(→)i=α(→)i/,α(→)i,(i=1,2,…,n),则ξ(→)1,ξ(→)2,…,ξ(→)n是两两正交的单位向量。
    记P=(ξ(→)1,ξ(→)2,…,ξ(→)n),即P是正交矩阵。从而有P-1=PT,P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=Λ,即A=PΛP-1=PΛPT,故AT=(PΛPT)T=(PT)TΛTPT=PΛPT=A,即A是对称矩阵。
    解析： 暂无解析

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