设矩阵是4阶非零矩阵, 且满足证明矩阵B的秩

题目
设矩阵是4阶非零矩阵, 且满足证明矩阵B的秩

相似考题

1.设，B是三阶非零矩阵，且，则（）.

2.下列结论中正确的是（　　）。 A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等 B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零 C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零 D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

3.设A是三阶矩阵,且｜A｜=4,则=_______.

4.设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则

参考答案和解析
答案：
解析：
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  • 第1题：

    设A=,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.


    答案：1、2
    解析：
    因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2.

  • 第2题：

    设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.


    答案：
    解析：
    【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
    |bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
    同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
    所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
    (1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
    (2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
    (3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
    方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
    方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
    因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.

  • 第3题：

    设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵


    答案：
    解析：

  • 第4题：

    设A，B为同阶矩阵，且.证明当且仅当


    答案：
    解析：

  • 第5题：

    若矩阵A=,B是三阶非零矩阵,满足AB=O,则t=_______.


    答案：1、1
    解析：
    由AB=0得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2.
    　　由得t=1.

  • 第6题：

    设A、B、C为同阶矩阵，且C为非奇异矩阵，满足，求证：


    答案：
    解析：

  • 第7题：

    设A，B为三阶矩阵，且满足方程.若矩阵,求矩阵B.


    答案：
    解析：

  • 第8题：

    设A=,且存在三阶非零矩阵B,使得AB=O,则a=_______,b=_______.


    答案：1、2 2、1
    解析：
    ，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1.

  • 第9题：

    设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且. （Ⅰ）求A的特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵A


    答案：
    解析：

  • 第10题：

    问答题
    设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。

    正确答案：
    因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
    由题知A(~)=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A(~))m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。
    解析： 暂无解析

  • 第11题：

    填空题
    设，B为三阶非零矩阵，且AB＝0，则t＝____。

    正确答案： -3
    解析：
    由B是三阶非零矩阵，且AB＝0，知B的列向量是方程组AB＝0的解且为非零解，故|A|＝0，解得t＝－3。

  • 第12题：

    单选题
    下列结论中正确的是（    ）
    A

    矩阵A的行秩与列秩可以不等

    B

    秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零

    C

    若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零

    D

    秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式


    正确答案： D
    解析：

  • 第13题：

    设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且


    答案：
    解析：

  • 第14题：

    设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，


    答案：
    解析：

  • 第15题：

    设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得A^k=O.证明：A不可以对角化.


    答案：
    解析：

  • 第16题：

    设3阶矩阵A 满足 ，证明A可对角化


    答案：
    解析：

  • 第17题：

    设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.


    答案：
    解析：

  • 第18题：

    设n阶矩阵A 满足，其中s≠t，证明A可对角化


    答案：
    解析：

  • 第19题：

    设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.


    答案：
    解析：

  • 第20题：

    设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

    　　(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量；
    　　(Ⅱ)求矩阵A.


    答案：
    解析：

  • 第21题：

    设A为4阶魔术矩阵，分别对A进行如下操作： 求矩阵A的逆； 求矩阵A的行列式； 求矩阵A的秩； 求矩阵A的迹；


    正确答案: >>A=magic（4）
    >>B=inv（A）
    >>C=det（A）
    >>D=rank（A）
    >>E=trace（A）

  • 第22题：

    问答题
    设A为4阶魔术矩阵，分别对A进行如下操作： 求矩阵A的逆； 求矩阵A的行列式； 求矩阵A的秩； 求矩阵A的迹；

    正确答案： >>A=magic（4）
    >>B=inv（A）
    >>C=det（A）
    >>D=rank（A）
    >>E=trace（A）
    解析： 暂无解析

  • 第23题：

    单选题
    设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
    A

    r＞r1

    B

    r＜rl

    C

    r＝rl

    D

    r与r1的关系依C而定


    正确答案： A
    解析：
    由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
    且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。

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