n阶方阵A,B,C满足ABC=E，其中E为单位矩阵，则必有（）.A.ACB=E B.CBA=E C.BAC=E D.BCA=E

题目

n阶方阵A,B,C满足ABC=E，其中E为单位矩阵，则必有（）.

A.ACB=E
B.CBA=E
C.BAC=E
D.BCA=E

相似考题

1.设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确的是()。A、若AB=AC，则B=CB、(A-C)^2=A^2-2AC+C^2C、ABC=BCAD、|ABC|=|A||B||C|

2.设方阵A满足AA=A，则必有A=O或A=E

3.设 A 、 B 为n阶方阵，AB＝0 ，则

4.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则()A、A=0B、A=EC、r(A)=nD、0r(A)(n)

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第1题：

设A，B是n（n≥2）阶方阵，则必有（）.

答案：C
解析：
第2题：

设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有

A.ACB=E
B.CBA=E
C.BAC=E
D.BCA=E

答案：D
解析：
矩阵的乘法没有交换律，只有一些特殊情况可交换，由于A，B，C均为n阶矩阵，且ABC=E，据行列式乘法公式｜A｜｜B｜｜C｜=1知A、B、C均可逆.那么对ABC=E先左乘A^-1再右乘A，有ABC=E→BC=A^-1→BCA=E.选(D).类似地，由BCA=E→CAB=E.不难想出，若n阶矩阵ABCD=E，则有ABCD=BCDA=CDAB=DABC=E.
第3题：

已知n阶非零方阵A，B满足条件AB=O，则下列结论正确的是（）。

答案：A
解析：
由于A，B为方阵，故AB=O两边同取行列式为|A||B|=0，故|A|=0或|B|=0，选A。
第4题：

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）

A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n

答案：A
解析：
第5题：

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵

答案：
解析：
第6题：

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则

A.AE-A不可逆，E+A不可逆
B.E-A不可逆，E+A可逆
C.E-A可逆，E+A可逆
D.E-A可逆，E+A不可逆

答案：C
解析：
判断矩阵A可逆通常用定义，或者用充要条件行列式｜A｜≠0(当然｜A｜≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E，(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E，所以，由定义知E-A，E+A均可逆.故选(C).

【评注】本题用特征值也是简捷的，由A^3=OA的特征值λ=0E-A(或E+A)特征值均不为0｜E-A｜≠0(或｜E+A｜≠0)E-A(或E+A)可逆
第7题：

设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则||A|A*|等于（）.

答案：D
解析：
第8题：

设A为n阶方阵，且|A|=a≠0，则|A*|等于（）。
- A、a
- B、an-1
- C、an
正确答案:C
第9题：

单选题
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（　　）。
A
r（A）＝m，r（B）＝m
B
r（A）＝m，r（B）＝n
C
r（A）＝n，r（B）＝m
D
r（A）＝n，r（B）＝n

正确答案： C
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。
第10题：

问答题
设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。

正确答案：
因为A^m=E,所以,A^m,=,A,^m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A(~)=(A^*)^T,其中A^*为A的伴随矩阵。所以有(A(~))^m=[(A^*)^T]^m=[(,A,A^-¹)^T]^m=[(A^-¹)^T]^m=[(A^m)^-¹]^T=E。
解析：暂无解析
第11题：

填空题
设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。

正确答案： -(A+E)/2
解析：
由题设A²＝A有，A²－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）^－¹＝－（A＋E）/2。
第12题：

与n阶单位矩阵E相似的矩阵是

A.
B.对角矩阵D（主对角元素不为1）
C.单位矩阵E
D.任意n阶矩阵A

答案：C
解析：
第13题：

设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=

A.E
B.-E
C.A
D.-A

答案：A
解析：
第14题：

设Am×n，Bn×m（m≠n），则下列运算结果不为n阶方阵的是:

A.BA
B.AB
C.（BA）T
D.ATBT

答案：B
解析：
第15题：

设A为n阶可逆方阵，则( )不成立。

A.
B.
C.-2A可逆
D.A+E可逆

答案：D
解析：
第16题：

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ；（2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.

答案：
解析：
第17题：

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=0，则( )。

A.E－A不可逆，E+A不可逆
B.E—A不可逆。E+A可逆
C.E—A可逆。E+A可逆
D.E—A可逆。E十A不可逆

答案：C
解析：
(层_A)(E“+A2)=E-A3趣，(E+A)(E_A+A：)趣+A3翘，故E-A，层+A均可逆。
第18题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）.《》（）

A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n

答案：A
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m.
第19题：

填空题
设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝____。

正确答案： -1
解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－α(→)α(→)^T）（E＋α(→)α(→)^T/a）＝E－α(→)α(→)^T＋α(→)α(→)^T/a－α(→)（α(→)^Tα(→)）α(→)^T/a＝E，即α(→)α(→)^T（1/a－1－2a²/a）＝0。
由于α(→)α(→)^T≠0，故1/a－1－2a²/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。
第20题：

单选题
设n维行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩阵A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于（　　）。
A
O
B
－E
C
E
D
E＋α^Tα

正确答案： D
解析：
注意利用αα^T＝1/2来简化计算。AB＝（E－α^Tα）（E＋2α^Tα）＝E＋2α^Tα－α^Tα－2α^Tαα^Tα＝E＋α^Tα－2α^T（αα^T）α＝E＋α^Tα－2·（1/2）α^Tα＝E。
第21题：

单选题
设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（　　）。
A
（A＋E）/2
B
－（A＋E）/2
C
（A－E）/2
D
－（A－E）/2

正确答案： C
解析：
由题设A²＝A有，A²－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）^－¹＝－（A＋E）/2。
第22题：

单选题
设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（　　）。
A
A＋2E
B
A＋E
C
（A＋E）/2
D
－（A＋E）/2

正确答案： A
解析：
由题设A²＝A有，A²－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）^－¹＝－（A＋E）/2。

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