已知n阶矩阵A的行列式|A|=0，那么矩阵A经过（)后，其秩有可能改变。A．初等变换B．左乘初等矩阵C．右乘一个可逆矩阵D．与一个单位矩阵相加
题目
已知n阶矩阵A的行列式|A|=0，那么矩阵A经过（)后，其秩有可能改变。
A．初等变换
B．左乘初等矩阵
C．右乘一个可逆矩阵
D．与一个单位矩阵相加
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第1题：
已知n阶可逆矩阵A的特征值为λ0，则矩阵(2A)-1的特征值是：
答案：C解析：
-
第2题：
设矩阵
是4阶非零矩阵, 且满足
证明矩阵B的秩答案：解析：
-
第3题：
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足
，求 ①二次型
的标准形； ②行列式
的值，其中E为单位矩阵答案：解析：
-
第4题：
若n阶方阵A满足|A|＝b（b≠0，n≥2），而A*是A的伴随矩阵，则行列式|A*|等于（ ）。A．bn
B．bn－1
C．bn－2
D．bn－3答案：B解析：
-
第5题：
4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵An的秩为（ ）。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：A解析：提示：A所有三阶子式为零，故An是零矩阵。 -
第6题：
设3阶矩阵，已知A的伴随矩阵的秩为1，则a=（）。
- A、-2
- B、-1
- C、1
- D、2
正确答案:A -
第7题：
问答题设A为4阶魔术矩阵，分别对A进行如下操作： 求矩阵A的逆； 求矩阵A的行列式； 求矩阵A的秩； 求矩阵A的迹；正确答案： >>A=magic（4）
>>B=inv（A）
>>C=det（A）
>>D=rank（A）
>>E=trace（A）解析： 暂无解析 -
第8题：
单选题设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（ ）。Ar＞r1
Br＜r1
Cr＝r1
Dr与r1的关系依C而定
正确答案： A解析：
由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。 -
第9题：
单选题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝（ ）。An－1
Bn
C1
D0
正确答案： C解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。 -
第10题：
单选题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝（ ）。A0
B1
Cn－1
Dn
正确答案： A解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。 -
第11题：
单选题设3阶矩阵，已知A的伴随矩阵的秩为1，则a=（）。A-2
B-1
C1
D2
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第12题：
单选题下列结论中正确的是（ ）A矩阵A的行秩与列秩可以不等
B秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式
正确答案： D解析： -
第13题：
下列结论中正确的是（ ）。A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式答案：C解析：A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵
中存在等于0的1阶子式。 -
第14题：
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，答案：解析：
-
第15题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则
A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n答案：A解析：本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A) -
第16题：
设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式
等于（ ）。
答案：D解析：
-
第17题：
设A为4阶魔术矩阵，分别对A进行如下操作： 求矩阵A的逆； 求矩阵A的行列式； 求矩阵A的秩； 求矩阵A的迹；
正确答案: >>A=magic（4）
>>B=inv（A）
>>C=det（A）
>>D=rank（A）
>>E=trace（A） -
第18题：
问答题已知A＝（aij），B＝（bij）为两个n阶方阵。 X为n阶方阵。证明：AX＝B有解的充要条件是n＋1个矩阵A，A1，A2，…，An的秩相等。正确答案：
(1)必要性
设AX=B有解,令X1,X2,…,Xn是X的列向量,B1,B2,…,Bn是B的列向量。由AX=B有解知方程组AXk=Bk(k=1,2,…,n)有解,于是有r(A)=r(A┆Bk)=r(Ak)(k=1,2,…,n),即A,A1,A2,…,An的秩相等。
(2)充分性
若A,A1,A2,…,An的秩都相等,则方程组AXk=Bk有解。记其解为Ci(i=1,2,…,n),则AC=B(其中C是以Ci为列向量的矩阵),即C为AX=B的解,故AX=B有解。解析： 暂无解析 -
第19题：
单选题若n阶方阵A满足|A|＝b（b≠0，n≥2），而A*是A的伴随矩阵，则行列式|A*|等于（ ）。[2019年真题]Abn
Bbn－1
Cbn－2
Dbn－3
正确答案： B解析：
伴随矩阵A*＝|A|A－1，则|A*|＝|A|n·|A－1|＝|A|n·|A|－1＝|A|n－1。又|A|＝b，则|A*|＝|A|n－1＝bn－1。 -
第20题：
单选题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝（ ）。A0
B1
C2
D4
正确答案： D解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。 -
第21题：
单选题已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX＝0，则有（ ）。A｜A｜＞0
B｜A｜＝0
C｜A｜＜0
D以上三种都有可能
正确答案： D解析：
由于对任一n维列向量X均有XTAX＝0，两边转置，有XTATX＝0，从而XT（A＋AT）X＝0。显然有（A＋AT）T＝A＋AT，即A＋AT为对称矩阵。从而对任一n维列向量X均有：XT（A＋AT）X＝0，A＋AT为实对称矩阵，从而有A＋AT＝0。即AT＝－A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故｜A｜＝0。 -
第22题：
单选题设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（ ）。Ar＞r1
Br＜rl
Cr＝rl
Dr与r1的关系依C而定
正确答案： A解析：
由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。 -
第23题：
填空题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝____。正确答案： 0解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。 -
第24题：
填空题设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n－1，则线性方程组AX(→)＝0(→)的通解为____。正确答案： X=k(1,1,…,1)T解析：
由r（A）＝n－1，知方程组AX＝0的基础解系只含有n－（n－1）＝1个解向量。又矩阵A的各行元素之和为0，知（1，1，…，1）T，为AX＝0的非零解，则方程组AX＝0的通解为X＝k（1，1，…，1）T。