罗尔定理：设函数(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)(a)=(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得，′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。

题目

相似考题

1.设f(x)在[0，1]上可导，且满足f(1)=∫01xf(x)dx，证明：必有一点ξ∈(0，1)，使得ξf(ξ)+f(ξ)=0．

2.若函数y=f(x)满足条件(63)，则在(a，B)内至少存在一点c(a＜c＜B)，使得f′(C)=(f(B)-f(A))/(b-A)成立。A．在(a，Ｂ)内连续B．在(a，Ｂ)内可导；C．在(a，Ｂ)内连续，在(a，Ｂ)内可导；D．在[a，Ｂ]内连续，在(a，Ｂ)内可导。

3.若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b），则在（a，b）内满足f ′（x0）＝0的点x0（　　）。 A．必存在且只有一个 B．至少存在一个 C．不一定存在 D．不存在

4.在(－1,1)区间上满足罗定理条件的函数是()A、y=xB、y=1/xC、y=x²D、y=/x/

参考答案和解析

答案：

解析：

更多“罗尔定理：设函数(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)(a)=(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得，′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。”相关问题

第1题：

在区间[0，8]上，下列中哪个结论是正确的？
A.罗尔定理不成立 B.罗尔定理成立，且ζ=2
C.罗尔定理成立，且ζ=4 D.罗尔定理成立，且ζ=8

答案：C
解析：
提示:验证函数是否满足罗尔定理的条件，利用罗尔定理结论求出ζ值如下。
f(x)在[0，8]上连续，在(0，8)内可导，且f(0)=f(8)=0，利用罗尔定理，在(0，8)之间至
第2题：

设函数f(x)在区间［0，1］上具有2阶导数，且，证明：
　　(Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
　　(Ⅱ)方程在区间(0，1)内至少存在两个不同实根.

答案：
解析：
第3题：

下列函数在区间[0，3]上不满足拉格朗日定理条件的是（）《》（）

答案：C
解析：
第4题：

设?(x)为开区间(a，b)上的可导函数，则下列命题正确的是（）

A.(x)在(a，b)上必有最大值
B.(x)在(a，b)上必一致连续
C.(x)在(a，b)上必有界
D.(x)在(a，b)上必连续

答案：D
解析：
根据微积分的知识，可导的函数必连续，
第5题：

函数y=x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=（　　）

答案：D
解析：
y=x2-x+1在[-1，3]上满足拉格朗日中值定理，
第6题：

设函数在（a，b）内连续，则在（a，b）内（）。
- A、f（x）必有界
- B、f（x）必可导
- C、f（x）必存在原函数
- D、D.必存在一点ξ∈（a，，使f（ξ）=0
正确答案:C
第7题：

单选题
设函数在（a，b）内连续，则在（a，b）内（）。
A
f（x）必有界
B
f（x）必可导
C
f（x）必存在原函数
D
D.必存在一点ξ∈（a，，使f（ξ）=0

正确答案： A
解析：暂无解析
第8题：

问答题
设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）＝f（b）。证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0。

正确答案：
因为f(x)不恒为常数,且f(a)=f(b),故必存在一点c∈(a,b),满足f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)=f(b),f(x)在[a,c]上满足拉格朗日中值定理,故至少存在一点ξ∈(a,c)⊂(a,b),使得f′(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0。
若f(c)0。综上命题得证。
解析：暂无解析
第9题：

问答题
设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，且存在相等的最大值。若f（a）＝g（a），f（b）＝g（b），证明：　　（1）存在η∈（a，b）使f（η）＝g（η）；　　（2）存在ξ∈（a，b）使f″（ξ）＝g″（ξ）。

正确答案：
(1)构造函数h(x)=f(x)-g(x),由f(a)=g(a),f(b)=g(b)可知,h(a)=h(b)=0。可设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M,分别在α∈(a,b),β∈(a,b)处取得。
当α=β时,令η=α,则h(η)=0;
当α≠β时,h(α)=f(α)-g(α)=M-g(α)≥0,h(β)=f(β)-g(β)=f(β)-M≤0。由介值定理可知,存在介于α和β之间的点η使得h(η)=0。综上所述,∃η∈(a,b),使得h(η)=0。
(2)根据罗尔定理可知,∃ξ₁∈(a,η),∃ξ₂∈(η,b),使得h′(ξ₁)=h′(ξ₂)=0。再由罗尔定理可知,∃ξ∈(ξ₁,ξ₂)⊂(a,b),使得h″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ)。
解析：暂无解析
第10题：

问答题
设f′（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）f（b）＞0，f（a）f[（a＋b）/2]＜0，试证至少存在一个点ξ∈（a，b）使f′（ξ）＝f（ξ）。

正确答案：
构造函数F(x)=e^-^xf(x)。
不妨设f(a)>0,则f(b)>0,f[(a+b)/2]<0。故F(a)=e^-^af(a)>0,F[(b+a)/2]=e^-(^b⁺^a⁾^/2f[(b+a)/2]<0,F(b)=e^-^bf(b)>0。
又F(x)在[a,(b+a)/2]和[(b+a)/2,b]上连续,则必∃c₁∈(a,(b+a)/2),c₂∈((b+a)/2,b),使F(c₁)=F(c₂)=0。
F(x)在[c₁,c₂]上满足罗尔定理的条件,故∃ξ∈(c₁,c₂)⊂(a,b),使F′(ξ)=e^-^ξ[f′(ξ)-f(ξ)]=0,即f′(ξ)=f(ξ),(e^-^ξ>0)。
解析：暂无解析
第11题：

单选题
设函数f（x）在区间[1，＋∞）内二阶可导，且满足条件f（1）＝f′（1）＝0，x＞1时f″（x）＜0，则g（x）＝f（x）/x在（1，＋∞）内（　　）。
A
曲线是向上凹的
B
曲线是向上凸的
C
单调减少
D
单调增加

正确答案： C
解析：
判断函数的单调性及凹凸性，需求出其导函数和二阶导数，并判断其正负号。g′（x）＝[xf′（x）－f（x）]/x²，构造函数F（x）＝xf′（x）－f（x），F′（x）＝xf″（x）＜0（题中已给出f″（x）＜0），故F（x）单调减少。则F（x）＜F（1）＝0，故g′（x）＜0，即g（x）在（1，＋∞）内单调减少。
第12题：

问答题
设f（x）在闭区间[0，c]上连续，其导数f′（x）在开区间（0，c）内存在且单调减少，f（0）＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f（a＋b）≤f（a）＋f（b），其中a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c。

正确答案：
f(a+b)-f(a)-f(b)=[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]。
因为f(x)在区间(0,a),(b,a+b)上满足拉格朗日中值定理,因此分别存在ξ∈(0,a),η∈(b,a+b),使得f(a)-f(0)=af′(ξ),f(a+b)-f(b)=af′(η),从而有f(a+b)-f(a)-f(b)=a[f′(η)-f′(ξ)]。
又f′(x)在(0,c)上单调减少,故f′(η)≤f′(ξ),故f(a+b)-f(a)-f(b)≤0,即f(a+b)≤f(a)+f(b)。
解析：暂无解析
第13题：

设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，

答案：
解析：
第14题：

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且=A，则存在，且.

答案：
解析：
第15题：

设f(x)为开区间（a，b）上的可导函数，则下列命题正确的是（）。

A.f(x)在（a，b）上必有最大值

B.f(x)在（a，b）上必一致连续

C.f(x)在（a，b）上必有

D.f(x)在（a，b）上必连续

答案：D
解析：
本题主要考查连续函数的特点。f(x)为开区间（a，b）上的可导函数，则可能出现极值，不一定存在最大值，当函数为分段函数时，不一定有界，故A、C两项错误。可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导，故D项正确。只有f(x)为闭区间[a，b]上的可导函数时才符合一致连续，故B项错误。
第16题：

函数y=sinx在区间[0，π]上满足罗尔定理的ξ=（　　）

答案：C
解析：
第17题：

函数y=cosx在［0，2x］上满足罗尔定理，则ξ= .

答案：
解析：
【答案】π【考情点拨】本题考查了罗尔定理的知识点.
【应试指导】
第18题：

问答题
设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）＝x。

正确答案：
首先证明存在性。
作辅助函数F(x)=f(x)-x,由题设00。
根据连续函数介值定理,在(0,1)上至少存在一点ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0。即f(ξ)-ξ=0。
用反证法证明唯一性。
设012<1,且f(x₁)=x₁,f(x₂)=x₂,即F(x₁)=F(x₂)=0。
根据罗尔定理知,存在x₀∈(x₁,x₂)⊂(0,1)使得F′(x₀)=0,即f′(x₀)=1,这与题目中f′(x)≠1相矛盾,故在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x。
解析：暂无解析
第19题：

问答题
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）＝f（b）＝1/2。证明：必∃ξ、η∈（a，b），使e2ξ＝（eb＋ea）[f′（η）＋f（η）]eη。

正确答案：
构造函数φ(x)=e^xf(x),则由f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可微,可知,φ(x)在[a,b]上连续,且φ′(x)=e^x[f′(x)+f(x)]在(a,b)上有意义。
由拉格朗日中值定理得,必∃η∈(a,b)使e^bf(b)-e^af(a)=e^η[f′(η)+f(η)](b-a)。
又f(a)=f(b)=1/2,则上式为(e^b-e^a)/(b-a)=2e^η[f′(η)+f(η)]①
令g(x)=e^2x,则g(x)在[a,b]上连续,且g′(x)=2e^2x在(a,b)上有意义。
由拉格朗日中值定理知,必∃ξ∈(a,b),使(e^2b-e^2a)/(b-a)=2e²^ξ,即(e^b-e^a)/(b-a)=2e²^ξ/(e^b+e^a)②
由①②得2e²^ξ/(e^b+e^a)=2e^η[f′(η)+f(η)],即e²^ξ=(e^b+e^a)e^η[f′(η)+f(η)]。
解析：暂无解析
第20题：

问答题
设f（x）在[a，b]上连续（a＞0），在（a，b）内可导，证明：必∃ξ∈（a，b），使[f（a）－f（ξ）]/（ξ2－b2）＝f′（ξ）/（2ξ）。

正确答案：
构造函数φ(x)=(x²-b²)[f(a)-f(x)],则φ′(x)=2x[f(a)-f(x)]-(x²-b²)f′(x)在(a,b)上有意义。
而φ(a)=0=φ(b)。则由罗尔定理得,必∃ξ∈(a,b),使φ′(ξ)=2ξ[f(a)-f(ξ)]-(ξ²-b²)f′(ξ)=0。
即[f(a)-f(ξ)]/(ξ²-b²)=f′(ξ)/(2ξ)。
解析：暂无解析
第21题：

单选题
设P(x)是在区间[α,b]上的y=f(x)川的分段线性插值函数,以下条件中不是P(x)必须满足的条件为（　）。
A
P(x)在[a,b]上连续
B
P(Xk)=Yk
C
P(x)在[α,b]上可导
D
P(x)在各子区间上是线性函数

正确答案： C
解析：暂无解析
第22题：

问答题
设f（x）在[0，π]上连续，在（0，π）内可导，证明：必∃ξ∈（0，π），使f′（ξ）＋3f（ξ）cotξ＝0。

正确答案：
构造函数φ(x)=sin³x·f(x),则由于f(x)在[0,π]上连续,故φ(x)也在[0,π]上连续。
且φ′(x)=sin³x·f′(x)+3sin²xcosx·f(x)在(0,π)有意义。
又φ(0)=φ(π)=0,根据罗尔定理得,必∃ξ∈(0,π),使φ′(ξ)=sin³ξ·f′(ξ)+3sin²ξcosξ·f(ξ)=0,即sin³ξ[f′(ξ)+3f(ξ)cotξ]=0。
而(0,π)上sinξ≠0。故f′(ξ)+3f(ξ)cotξ=0。
解析：暂无解析
第23题：

单选题
函数f（x）在[0，＋∞）上连续，在（0，＋∞）内可导，且f（0）＜0，f′（x）≥k＞0，则在（0，＋∞）内f（x）（　　）。
A
没有零点
B
至少有一个零点
C
只有一个零点
D
有无零点不能确定

正确答案： A
解析：
由f′（x）≥k＞0知f（x）单调增加，又f（0）＜0，且f（x）在[0，＋∞）上连续，在（0，＋∞）内可导，故f（x）只有一个零点。

罗尔定理：设函数(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)(a)=(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得，′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。

题目

相似考题

参考答案和解析

更多“罗尔定理：设函数(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)(a)=(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得，′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。”相关问题

相关内容