向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。 A、α1，α2，…，αm中至少有一个零向量 B、α1，α2，…，αm中至少有两个向量成比例 C、存在不全为零的常数k1，k2，…，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0 D、α1，α2，…，αm中每个向量都能由其余向量线性表示

题目
向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。

A、α1，α2，…，αm中至少有一个零向量
B、α1，α2，…，αm中至少有两个向量成比例
C、存在不全为零的常数k1，k2，…，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0
D、α1，α2，…，αm中每个向量都能由其余向量线性表示
相似考题

1.设A为m×n阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是(64)。A．A的列向量组线性无关B．A的列向量组线性相关C．A的行向量组线性无关D．A的行向量组线性相关A.A的列向量组线性无关B.A的列向量组线性相关C.A的行向量组线性无关D.A的行向量组线性相关

2.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（ ）。A.A的列向量组线性无关 B.A的列向量组线性相关 C.A的行向量组线性无关 D.A的行向量组线性相关

3.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则A.当rB.当r>s时，向量组Ⅱ必线性相关 C.当rD.当r>s时，向量组Ⅰ必线性相关

4.设向量组I：α1，α2，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．

更多“向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。 ”相关问题

  • 第1题：

    向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。

    A α1，α2，…，αm中至少有一个零向量
    B α1，α2，…，αm中至少有两个向量成比例
    C 存在不全为零的常数k1，k2，…，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0
    D α1，α2，…，αm中每个向量都能由其余向量线性表示

    答案：C
    解析：
    由向量组线性相关的理论，(A)、(B)、(D)不正确，而(C)是线性相关的定义，也是充分必要条件

  • 第2题：

    m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是（）

    • A、m+n－1个变量恰好构成一个闭回路
    • B、m+n－1个变量不包含任何闭回路
    • C、m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路
    • D、m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关

    正确答案:B

  • 第3题：

    单选题
    设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（　　）.
    A

    向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示

    B

    向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示

    C

    向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价

    D

    矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m


    正确答案： C
    解析：
    例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．

  • 第4题：

    单选题
    设A是m×n的非零矩阵，B是m×1非零矩阵，满足AB=0，以下选项中不一定成立的是：（）
    A

    A的行向量组线性相关

    B

    A的列向量组线性相关

    C

    B的行向量组线性相关

    D

    r（A）+r（B）≤n


    正确答案： C
    解析： 由于AB=0，得到r（A）+r（B）≤n，又由于A，B都是非零矩阵，则r（A）＞0，r（B）＞0，得r（A）＜nr（B）＜n。因此A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

  • 第5题：

    单选题
    设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组（Ⅱ）:α1，α2，…，αm-1，β，则（　　）.
    A

    αm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

    B

    αm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示

    C

    αm可以由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示

    D

    αm可由（Ⅰ）线性表示，不可由（Ⅱ）线性表示


    正确答案： C
    解析：
    若αm可由向量组（Ⅰ）线性表示，则β也可由向量组（Ⅰ）线性表示，与题设矛盾，故αm不能由（Ⅰ）线性表示；由β可由α1，α2，…，αm线性表示，知存在一组数k1，k2，…，km，使β=k1α1+k2α2+…+kmαm，且km≠0，否则β就能由（Ⅰ）线性表示，所以αm可由向量组（Ⅱ）．

  • 第6题：

    单选题
    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关的充要条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为零向量

    B

    其中有一个部分组线性相关

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量都能由其余向量线性表示

    D

    其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合


    正确答案： B
    解析：
    课本结论：α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关当且仅当α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一个向量为其他向量的线性组合。

  • 第7题：

    单选题
    设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（　　）.
    A

    r＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

    B

    r＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

    C

    r＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

    D

    r＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关


    正确答案： B
    解析：
    设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性．

  • 第8题：

    单选题
    设n阶方阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)n），B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)n），AB＝（γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n），记向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)n；（Ⅱ）： β(→)1，β(→)2，…，β(→)n；（Ⅲ）：γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n。如果向量组（Ⅲ）线性相关，则（　　）。
    A

    向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关

    B

    向量组（Ⅰ）线性相关

    C

    向量组（Ⅱ）线性相关

    D

    向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关


    正确答案： D
    解析：
    由向量组（Ⅲ）线性相关，知矩阵AB不可逆，即|AB|＝|A|·|B|＝0，因此|A|、|B|中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关。

  • 第9题：

    单选题
    已知向量组（α(→)1，α(→)3），（α(→)1，α(→)3，α(→)4），（α(→)2，α(→)3）都线性无关，而（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）线性相关，则向量组（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）的极大无关组是（　　）。
    A

    （α(→)1，α(→)2，α(→)3）

    B

    （α(→)1，α(→)2，α(→)4）

    C

    （α(→)1，α(→)3，α(→)4）

    D

    （α(→)2，α(→)3，α(→)4）


    正确答案： B
    解析：
    向量组（α(→)1，α(→)2，α(→)3，α(→)4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α(→)1，α(→)3，α(→)4）线性无关，故知（α(→)1，α(→)3，α(→)4）为其极大线性无关组。

  • 第10题：

    单选题
    设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（　　）。
    A

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关

    B

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性无关

    C

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关

    D

    若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性无关


    正确答案： A
    解析：
    设有数k1，k2，…，ks，使k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s＝0(→)，则有A（k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s）＝k1Aα(→)1＋k2Aα(→)2＋…＋ksAα(→)s＝0(→)。因α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，故k1，k2，…，ks不全为0，知Aα(→)1，Aα(→)2，…，Aα(→)s线性相关。

  • 第11题：

    设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。

    A.若向量组I线性无关．则r≤S
    B.若向量组I线性相关，则r>s
    C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
    D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s

    答案：A
    解析：
    由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即

  • 第12题：

    3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．

    • A、对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后
    • B、向量组A中任意两个向量都线性无关
    • C、向量组A是正交向量组
    • D、αM不能由线性表示

    正确答案:A

  • 第13题：

    单选题
    设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示。记向量组（Ⅱ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1，β(→)，则（　　）。
    A

    α(→)m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

    B

    α(→)m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示

    C

    α(→)m可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示

    D

    α(→)m可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示


    正确答案： B
    解析：
    向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示，不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示，则设β(→)＝k1α(→)1＋k2α(→)2＋…＋km－1α(→)m－1＋kmα(→)m，且km≠0，α(→)m＝β(→)/km－k1α(→)1/km－…－km－1α(→)m－1/km，说明α(→)m可由向量组β(→)，α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1，线性表示，不可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示。

  • 第14题：

    单选题
    设向量组Ⅰ：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，其秩为r；向量组Ⅱ：α(→)1，α(→)2，…， α(→)m，β(→)，其秩为s，则r＝s是向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价的（　　）。
    A

    充分非必要条件

    B

    必要非充分条件

    C

    充分必要条件

    D

    既非充分也非必要条件


    正确答案： A
    解析：
    两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩。

  • 第15题：

    单选题
    设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充分条件是（　　）。
    A

    A的列向量组线性无关

    B

    A的列向量组线性相关

    C

    A的行向量组线性无关

    D

    A的行向量组线性相关


    正确答案： C
    解析：
    因为AX(→)＝0(→)仅有零解的充分必要条件是A的秩r（A）＝n，所以A的列向量组线性无关是AX(→)＝0(→)仅有零解的充分条件。

  • 第16题：

    填空题
    已知向量组（α1，α3），（α1，α3，α4），（α2，α3，）都线性无关，而（α1，α2，α3，α4）线性相关，则向量组（α1，α2，α3，α4）的极大无关组是____.

    正确答案： (α1,α3,α4)
    解析：
    向量组（α1，α2，α3，α4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α1，α3，α4）线性无关，故知（α1，α3，α4）为其极大线性无关组．

  • 第17题：

    单选题
    设向量组I：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，其秩为r；向量组II：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，β(→)，其秩为s，则r＝s是向量组I与向量组II等价的（　　）。
    A

    充分非必要条件

    B

    必要非充分条件

    C

    充分必要条件

    D

    既非充分也非必要条件


    正确答案： C
    解析：
    两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩。

  • 第18题：

    单选题
    下列说法不正确的是（　　）。
    A

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则加入k个n维向量β(→)1，β(→)2，…，β(→)k后的向量组仍然线性无关

    B

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关

    C

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则加入k个n维向量β(→)1，β(→)2，…，β(→)k后得到的向量组仍然线性相关

    D

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关


    正确答案： A
    解析：
    A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；
    B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；
    C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；
    D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的。

  • 第19题：

    单选题
    设n维列向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m（m＜n）线性无关，则n维列向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关的充分必要条件是（　　）。
    A

    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m可以由β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性表示

    B

    向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m可以由α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示

    C

    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m与向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m等价

    D

    矩阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)m）与矩阵B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)m）等价


    正确答案： D
    解析：
    例如α(→)1＝（1，0，0，0），α(→)2＝（0，1，0，0），β(→)1＝（0，0，1，0），β(→)2＝（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；
    D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关。

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