2022年福建省永春一中高二数学竞赛班讲义递推数列求通项含参考答案
数列是高中数学很重要的内容之一，数列中求通项的问题也是最常见的题型，其形式多样，解法灵活。请谈谈你认为的几种常用的求数列通项的方法。
纲要：举例说明，有：迭加法，迭乘法，换元法，倒数法，待定系数法，分类讨论等等(需简要说明每种方法适用的情况)。
以下算法设计基本方法中基本思想不属于归纳法的是（ ）
A．递推法
B．递归法
C．减半递推技术
D．回溯法
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n．求
（I）{an}的前三项；
（II）{an}的通项公式．
常用于解决“是否存在”或“有多少种可能”等类型的问题(例如求解不定方程的问题)的算法设计基本方法是（ ）
A．归纳法
B．递推法
C．列举法
D．减半递推技术
A.逐步求精
B.实验法
C.原型法
D.递推法
答案：C
2022年永春一中高二数学竞赛班讲义第1讲 递推数列求通项班级 姓名 一、知识要点：1累加法，累乘法，待定系数法，取倒数法，取对数法，数学归纳法，与转化法。较难的求通项方法：1除法：由形如的递推式求通项，可两边同除以转化为形如的递推式。2不动点法：形如的分式递推式：记特征函数的不动点为，当时，成等差数列；当时，成等比数列。3特征根法：在给出的递推式中，记特征方程的两根为，当时，；当时，。4换元法（根号换元，三角换元）5双数列递推、周期数列等。二、例题精析例1（1）已知数列满足，求。（2）已知，求。（3）已知数列中，求。（4）已知，求。（5）已知，求。例2（1）已知数列满足：，求通项。（2）已知数列满足：，求通项。例3（1）已知数列满足：，求通项。（2）已知数列满足：，求通项。例4（1）数列中，求数列的通项公式。（2）数列中，求数列的通项公式。例5（1）数列中，试求（2）设，求并证明。例6数列中，数列中，。当时，求和。三、精选习题1已知数列满足，则 2数列中，则通项 。3已知数列满足，则= 4已知数列中，你有多少种方法求？5已知数列满足：，求通项。6数列满足，求数列的通项公式。7已知数列满足，其中是给定的正实数，求此数列的通项。8已知数列满足：R且，N（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小（2011年高中联赛）高二数学竞赛讲义 数列和与通项 1 参考答案一、例题分析例2（1）设，为常数，用待定系数法求得，所以，故成等比数列，所以。（2）两边同除以，累加得 例3（1）解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。（2）解：令，得，则是函数的不动点。因为，所以。例4（1）解：由特征方程，得，所以数列成等比数列，首项为，公比为，则，两边同除以，则，所以数列成等差数列，首项为，公比为，所以，。（2）简例应用（特征根法）：数列：， 的特征方程是：,。又由，于是故例5设，则，所以，则，因为，即，则，得，所以（2）由，可知设，则，所以，则，因为当时，所以，证毕。例6解：因所以即（1）又因为所以.即（2）由（1）、（2）得：， 三、巩固练习2 提示：在的两边取常用对数，则，所以数列成等比数列，首项为，公比为，所以，所以3在的两边同除以，则，所以数列成等差数列，首项为，公差为，所以，4法1： ， 得，所以数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，所以， ，法2：设，则，所以。故，所以成等比数列，首项，公比是，所以法3：由得，两边同除以累加（右边是错位相减法）求得。6或，则，所以数列是等比数列，公比为，首项为， 特征根法：，或，设，由待定系数，得，所以7令，易求88设，且对所有正整数，有，求能使被 整除的一切的值。8，所以，累加得当或时，能使被 整除8
阅读以下说明和流程图，回答问题将解答填入对应栏内。
[说明]
已知递推数列：a(1)=1，a (2s)= a (s)，a(2s+1)=a (s)+a (s+1)(s 为正整数)。试求该数列的第n项与前n项中哪些项最大?最大值为多少?
算法分析：该数列序号分为奇数或偶数两种情况做不同递推，所得数列呈大小有规律的摆动。设置a数组，赋初值a (1)=1。根据递推式，在循环中分项序号s (2～n)为奇数或偶数作不同递推：每得一项 a (s)，即与最大值max 作比较，如果a (s)＞max，则max=a(i)。最后，在所有项中搜索最大项(因最大项可能多于一项)，并打印最大值max。
[问题]
将流程图中的(1)～(5)处补充完整。
注：流程图中(1)循环开始的说明按照“循环变量名：循环初值，循环终值，增量”格式描述。
[流程图]
(1)for s=2 to n (2) mod(s,2)=0 (3) a(s)=a(s/2) (4) a(s)=a(s+1)/2+a(s-1)/2) (5) max=a(s)
常用的算法设计方法有：( ) Ⅰ．列举法 Ⅱ．归纳法 Ⅲ．递推 Ⅳ．递归． Ⅴ．回溯法
A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅴ
B．Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ
C．Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ
D．全是
解析：常用的算法设计方法有：①列举法，就是根据提出的问题，列举所有可能的情况，并用问题中给定的条件检验哪些是需要的，哪些是不需要的。②归纳法，通过列举少量的特殊情况，经过分析，最后找出一般的关系。⑧递推，从已知的初始条件出发，逐次推出所要求的各中间结果和最后结果。④递归，将一个复杂的问题归纳为若干个较简单的问题，然后将这些较简单的每一个问题再归结为更简单的问题，这个过程可以一直做下去，直到最简单的问题为止。⑤减半递推技术，“减半”是指将问题的规模减半，而问题的性质不变，“递归”是指重复“减半”的过程。⑥回溯法，有些实际问题却很难归纳出一组简单的递推公式或直观的求解步骤，并且也不能进行无限的列举。对于这类问题，一种有效的方法是“试”。通过对问题的分析，找出一个解决问题的线索，然后沿着这个线索逐步试探，对于每一步的试探，若试探成功，就得到问题的解，若试探失败，就逐步回退，换别的路线再进行试探。这种方法称为回溯法。
常用的算法设计方法有：( ) Ⅰ．列举法 Ⅱ．归纳法 Ⅲ．递推 Ⅳ．递归 Ⅴ．回溯法
A．Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅴ
B．Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ
C．Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ
D．全是
解析：常用的算法设计方法有：①列举法，就是根据提出的问题，列举所有可能的情况，并用问题中给定的条件检验哪些是需要的，哪些是不需要的。②归纳法，通过列举少量的特殊情况，经过分析，最后找出一般的关系。③递推，从已知的初始条件出发，逐次推出所要求的各中间结果和最后结果。④递归，将一个复杂的问题归纳为若干个较简单的问题，然后将这些较简单的每一个问题再归结为更简单的问题，这个过程可以一直做下去，直到最简单的问题为止。⑤减半递推技术，“减半”是指将问题的规模减半，而问题的性质不变，“递归”是指重复“减半”的过程。⑥回溯法，有些实际问题却很难归纳出一组简单的递推公式或直观的求解步骤，并且也不能进行无限的列举。对于这类问题，一种有效的方法是“试”。通过对问题的分析，找出一个解决问题的线索，然后沿着这个线索逐步试探，对于每一步的试探，若试探成功，就得到问题的解，若试探失败，就逐步回退，换别的路线再进行试探。这种方法称为回溯法。
(I)求{an}的通项公式；
(II)求{an)的前5项和．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)求{an}的前5项和．
