单选题设向量组Ⅰ：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，其秩为r；向量组Ⅱ：α(→)1，α(→)2，…， α(→)m，β(→)，其秩为s，则r＝s是向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价的（ ）。A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充分必要条件D 既非充分也非必要条件
题目
充分非必要条件
必要非充分条件
充分必要条件
既非充分也非必要条件
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第1题：
设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s答案：A解析：由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即 -
第2题：
3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．
- A、对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后
- B、向量组A中任意两个向量都线性无关
- C、向量组A是正交向量组
- D、αM不能由线性表示
正确答案:A -
第3题：
单选题设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示。记向量组（Ⅱ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1，β(→)，则（ ）。Aαm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
Bαm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
Cαm可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
Dαm可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示
正确答案： B解析：
向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，不能由向量组α1，α2，…，αm－1线性表示，则设β＝k1α1＋k2α2＋…＋km－1αm－1＋kmαm，且km≠0，αm＝β/km－k1α1/km－…－km－1αm－1/km，说明αm可由向量组β，α1，α2，…，αm－1，线性表示，不可由向量组α1，α2，…，αm－1线性表示。 -
第4题：
单选题设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组（Ⅱ）:α1，α2，…，αm-1，β，则（ ）.Aαm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
Bαm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
Cαm可以由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
Dαm可由（Ⅰ）线性表示，不可由（Ⅱ）线性表示
正确答案： C解析：
若αm可由向量组（Ⅰ）线性表示，则β也可由向量组（Ⅰ）线性表示，与题设矛盾，故αm不能由（Ⅰ）线性表示；由β可由α1，α2，…，αm线性表示，知存在一组数k1，k2，…，km，使β=k1α1+k2α2+…+kmαm，且km≠0，否则β就能由（Ⅰ）线性表示，所以αm可由向量组（Ⅱ）． -
第5题：
单选题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（ ）。A必定r＜s
B向量组中任意个数小于r的部分组线性无关
C向量组中任意r个向量线性无关
D若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关
正确答案： A解析：
A项，r可能与s相等；
B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。 -
第6题：
问答题设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性表示，但不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示，证明： （1）α(→)r不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示； （2）α(→)r能由α(→)1，α(→)2，…，α(→)r，β(→)线性表示。正确答案：
(1)(反证法)
可设αr能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示,即αr=k1α1+k2α2+…+kr-1αr-1。
由向量β可由向量组α1,α2,…,αr线性表示,有β=l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+lrαr。
所以有β=(l1+lrk1)α1+(l2+lrk2)α2+…+(lr-1+lrkr-1)αr-1,即β可由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示,这与已知条件相矛盾,故αr不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示。
(2)由β=l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+lrαr和β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示,可知lr≠0,故αr=β/lr-l1α1/lr-l2α2/lr-…-lr-1αr―1/lr,即αr可由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示。解析： 暂无解析 -
第7题：
单选题设向量组I：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，其秩为r；向量组II：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，β(→)，其秩为s，则r＝s是向量组I与向量组II等价的（ ）。A充分非必要条件
B必要非充分条件
C充分必要条件
D既非充分也非必要条件
正确答案： C解析：
两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩。 -
第8题：
问答题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明： （1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组； （2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。正确答案：
(1)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以αj1,αj2,…,αjr,αi(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
(2)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。解析： 暂无解析 -
第9题：
单选题设向量组的秩为r，则：（）A该向量组所含向量的个数必大于r
B该向量级中任何r个向量必线性无关，任何r+1个向量必线性相关
C该向量组中有r个向量线性无关，有r+1个向量线性相关
D该向量组中有r个向量线性无关，任何r+1个向量必线性相关
正确答案： C解析： 暂无解析 -
第10题：
单选题设向量组α1，α2，…，αr（Ⅰ）是向量组α1，α2，…，αs（Ⅱ）的部分线性无关组，则（ ）.A（Ⅰ）是（Ⅱ）的极大线性无关组
Br（Ⅰ）=r（Ⅱ）
C当（Ⅰ）中的向量均可由（Ⅱ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
D当（Ⅱ）中的向量均可由（Ⅰ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
正确答案： B解析：
题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）=r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）=r（Ⅱ）． -
第11题：
设n阶方阵M的秩r(M)=rA.任意一个行向量均可由其他r个行向量线性表示
B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组
C.任意r个行向量均线性无关
D.必有r个行向量线性无关答案：D解析：第12题：
单选题设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（ ）.A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价
D矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m
正确答案： C解析：
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关．第13题：
单选题设向量组Ⅰ：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m，其秩为r；向量组Ⅱ：α(→)1，α(→)2，…， α(→)m，β(→)，其秩为s，则r＝s是向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价的（ ）。A充分非必要条件
B必要非充分条件
C充分必要条件
D既非充分也非必要条件
正确答案： A解析：
两向量组等价的充要条件是它们有相同的秩。第14题：
问答题设向量组（Ⅰ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s；（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)t；（Ⅲ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t的秩依次为r1，r2，r3。证明：max（r1，r2）≤r3≤r1＋r2。正确答案：
当r1,r2中有一个为0的,等式显然成立。
当r1≠0,r2≠0,设向量组①:α1,α2,…,αr1;②:β1,β2,…,βr2;③:δ1,δ2,…,δr3分别是向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)的极大线性无关组。显然③可由①和②线性表示,又③线性无关,故r3≤r1+r2。由于①、②可由③线性表示,所以r1≤r3,r2≤r3,即max(r1,r2)≤r3。所以max(r1,r2)≤r3≤r1+r2。解析： 暂无解析第15题：
问答题设向量组（Ⅰ）α1，α2，…，αs．（Ⅱ）β1，β2，…，βt．（Ⅲ）α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt．的秩依次为r1，r2，r3.证明:max（r1，r2）≤r3≤r1+r2.正确答案：
当r1,r2中有一个为0的,等式显然成立.
当r1≠0,r2≠0,设向量组①:α1,α2,…,αr1;②:β1,β2,…,βr2;③:δ1,δ2,…,δr3分别是向量组(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)的极大线性无关组.
显然③可由①和②线性表示,又③线性无关,故r3≤r1+r2.由于①、②可由③线性表示,所以r1≤r3,r2≤r3,即max(r1,r2)≤r3.所以max(r1,r2)≤r3≤r1+r2.解析： 暂无解析第16题：
单选题设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（ ）.Ar＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Br＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Cr＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
Dr＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
正确答案： B解析：
设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性．第17题：
单选题设n阶方阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)n），B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)n），AB＝（γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n），记向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)n；（Ⅱ）： β(→)1，β(→)2，…，β(→)n；（Ⅲ）：γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n。如果向量组（Ⅲ）线性相关，则（ ）。A向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关
B向量组（Ⅰ）线性相关
C向量组（Ⅱ）线性相关
D向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关
正确答案： D解析：
由向量组（Ⅲ）线性相关，知矩阵AB不可逆，即|AB|＝|A|·|B|＝0，因此|A|、|B|中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关。第18题：
单选题设向量组（I）α1，α2，…，αs，其秩为r1，向量组（Ⅱ）β1，β2，…，βs，其秩为r2，且βi（i=1，2，…，s）均可以由α1，…，αs线性表示，则（ ）.A向量组α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2
B向量组α1-β1，α2-β2，…，αs-βs秩为rl-r2
C向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为rl+r2
D向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为rl
正确答案： A解析：
向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，则向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs也可由其线性表示，所以α1，α2，…，αs向量组的极大线性无关组也是该向量组的极大线性无关组，故其秩为rl．第19题：
单选题设α(→)1，α(→)2，…，α(→)s和β(→)1，β(→)2，…，β(→)t为两个n维向量组，且秩（α(→)1，α(→)2，…，α(→)s）＝秩（β(→)1，β(→)2，…，β(→)t）＝r，则（ ）。A此两个向量组等价
B秩（α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt）＝r
C当α1，α2，…，αs可以由β1，β2，…，βt线性表示时，此二向量组等价
Ds＝t时，二向量组等价
正确答案： C解析：
两向量组等价的充要条件是所含向量的个数相等，且能相互线性表示。第20题：
单选题设n维列向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m（m＜n）线性无关，则n维列向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关的充分必要条件是（ ）。A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价
D矩阵A＝（α1，α2，…，αm）与矩阵B＝（β1，β2，…，βm）等价
正确答案： D解析：
例如α1＝（1，0，0，0），α2＝（0，1，0，0），β1＝（0，0，1，0），β2＝（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；
D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关。