填空题设A、B都是4阶方阵且AB＝0，则r（A）＋r（B）____。

题目
填空题
设A、B都是4阶方阵且AB＝0，则r（A）＋r（B）____。
相似考题

1.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则()A、A=0B、A=EC、r(A)=nD、0r(A)(n)

2.设A=,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.

3.设A与B都是n阶方阵,且,证明AB与BA相似.

4.设A是4×3阶矩阵且r(A)=2,B=,则r(AB)=_______.

参考答案和解析
正确答案： ≤4
解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX(→)＝0(→)的解，令r（A）＝r1，r（B）≤4－r1，故r（A）＋r（B）≤4。
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  • 第1题：

    设 A 、 B 为n阶方阵，AB＝0 ，则



    答案：C
    解析：

  • 第2题：

    设 都是n(n≥3）阶非零矩阵，且AB=O，则r（B）=（ ）

    A. 0
    B.1
    C. 2
    D. 3

    答案：B
    解析：

  • 第3题：

    设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().

    A.r>m
    B.r=m
    C.rD.r≥m

    答案：C
    解析：
    显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n小于m，所以选(C).

  • 第4题：

    设A,B都是,n阶矩阵,其中B是非零矩阵,且AB=O,则().

    A.r(B)=n
    B.r(B)C.A2-Bz=(A+B)(A-B)
    D.｜A｜=0

    答案：D
    解析：
    因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)小于n，于是|A|=0，选(D).

  • 第5题：

    设3阶方阵A满足A2=0，则下列等式成立的是（）．

    • A、A=O
    • B、B.R=0
    • C、A3=O
    • D、D.R=3

    正确答案:C

  • 第6题：

    单选题
    设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。
    A

    n－1

    B

    n

    C

    n＋1

    D

    n＋2


    正确答案： A
    解析：
    由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。

  • 第7题：

    单选题
    设A、B为四阶方阵，r（A）=4，r（B）=3，则r[（AB）*]=（　　）.
    A

    1

    B

    2

    C

    3

    D

    4


    正确答案： B
    解析：
    由r（A）=4，知A*是满秩矩阵，由r（B）=3，知r（B*）=1，矩阵与可逆矩阵相乘其秩不变，故有r[（AB）*]=r（B*A*）=r（B*）=1

  • 第8题：

    填空题
    设A为4阶方阵，且r（A）＝3，A*为A的伴随矩阵，则r（A*）＝____。

    正确答案： 1
    解析：
    由A是4阶方阵且r（A）＝3，知|A|＝0，又AA*＝|A|E＝0为A的齐次方程组，则A*的列向量是齐次方程组Ax(→)＝0(→)的解，故r（A）＋r（A*）≤4，则r（A*）≤1。由r（A）＝3知，A至少有一个代数余子式不为0，故A*≠0，所以r（A*）＝1。

  • 第9题：

    单选题
    设A为4阶方阵，且r（A）＝3，A*为A的伴随矩阵，则r（A*）＝（　　）。
    A

    1

    B

    2

    C

    3

    D

    4


    正确答案： B
    解析：
    由A是4阶方阵且r（A）＝3，知|A|＝0，又AA*＝|A|E＝0为A的齐次方程组，则A*的列向量是齐次方程组Ax(→)＝0(→)的解，故r（A）＋r（A*）≤4，则r（A*）≤1。由r（A）＝3知，A至少有一个代数余子式不为0，故A*≠0，所以r（A*）＝1。

  • 第10题：

    单选题
    设A为4阶方阵，且r（A）＝3，A*为A的伴随矩阵，则r（A*）＝（　　）。
    A

    0

    B

    1

    C

    2

    D

    3


    正确答案： B
    解析：
    由A是4阶方阵且r（A）＝3，知|A|＝0，又AA*＝|A|E＝0为A的齐次方程组，则A*的列向量是齐次方程组Ax(→)＝0(→)的解，故r（A）＋r（A*）≤4，则r（A*）≤1。由r（A）＝3知，A至少有一个代数余子式不为0，故A*≠0，所以r（A*）＝1。

  • 第11题：

    单选题
    设A、B都是4阶方阵且AB＝0，则r（A）＋r（B）（　　）。
    A

    ≤1

    B

    ≤2

    C

    ≤3

    D

    ≤4


    正确答案： A
    解析：
    由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX(→)＝0(→)的解，令r（A）＝r1，r（B）≤4－r1，故r（A）＋r（B）≤4。

  • 第12题：

    单选题
    设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。
    A

    1

    B

    2

    C

    n－1

    D

    n


    正确答案： C
    解析：
    由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。

  • 第13题：

    设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=O 且r（B）=2，则 |A+4E|=

    A.8
    B.16
    C.2
    D.0

    答案：B
    解析：

  • 第14题：

    设A，B是n阶方阵，A≠0且AB=0，则（ ）.

    A.|
    B.B=0；
    C.BA=O：
    D.


    答案：A
    解析：

  • 第15题：

    设A，B是n阶方阵，A≠0且AB=0，则（ ）.《》（ ）

    A.|B|=0或|A|=0：
    B.B=0；
    C.BA=O：
    D.


    答案：A
    解析：

  • 第16题：

    设A是5×6矩阵，则（ ）正确。
    A.若A中所有5阶子式均为0,则秩R(A)=4
    B.若秩R(A)=4,则A中5阶子式均为0
    C.若秩R(A)=4，则A中4阶子式均不为0
    D.若A中存在不为0的4阶子式，则秩R(A)=4


    答案：B
    解析：
    提示：利用矩阵秩的定义。

  • 第17题：

    设A为n阶方阵，且|A|=a≠0，则|A*|等于（）。

    • A、a
    • B、an-1
    • C、an

    正确答案:C

  • 第18题：

    单选题
    设A为3阶方阵，α(→)1，α(→)2，α(→)3是互不相同的3维列向量，且都不是方程组Ax(→)＝0(→)的解，若B＝（α(→)1，α(→)2，α(→)3）满足r（AB）＜r（A），r（AB）＜r（B），则r（AB）等于（　　）。
    A

    3

    B

    2

    C

    1

    D

    0


    正确答案： B
    解析：
    由于α(→)1，α(→)2，α(→)3不是Ax(→)＝0(→)的解，故AB≠0，所以r（AB）＞0。
    又因r（AB）＜r（A），故B不可逆，即r（B）≤2，从而r（AB）＜r（B）≤2，即r（AB）＝1。

  • 第19题：

    填空题
    设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝____。

    正确答案： n
    解析：
    由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。

  • 第20题：

    填空题
    设A为4阶方阵，且r（A）＝2，A*为A的伴随矩阵，则A*X(→)＝0(→)的基础解系所含的解向量的个数为____。

    正确答案： 4
    解析：
    由r（A）＝2＜4－1＝3，故r（A*）＝0，即A*＝0，则方程组A*X(→)＝0(→)的基础解系含4－0＝4个解向量。

  • 第21题：

    单选题
    设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。
    A

    0

    B

    1

    C

    n－1

    D

    n


    正确答案： C
    解析：
    由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。

  • 第22题：

    单选题
    设A为4阶方阵，且r（A）＝2，A*为A的伴随矩阵，则A*X(→)＝0(→)的基础解系所含的解向量的个数为（　　）。
    A

    1

    B

    2

    C

    3

    D

    4


    正确答案： C
    解析：
    由r（A）＝2＜4－1＝3，故r（A*）＝0，即A*＝0，则方程组A*X(→)＝0(→)的基础解系含4－0＝4个解向量。

  • 第23题：

    填空题
    设A、B、C均为n阶方阵，若A＝CTBC，且|B|＜0，则|A|____。

    正确答案： ≤0
    解析：
    由行列式性质可知|A|＝|CT|·|B|·|C|＝|C|2·|B|≤0。

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