填空题设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____。

题目
填空题
设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____。
相似考题

1.微分方程y''+2y=0的通解是：(A,B为任意常数）

2.已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=________.

3.3阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=________

4.若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)e^x，则非齐次方程y"+ay'+by=x满足条件y(0)=2，y'(0)=0的解为y=________.

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  • 第1题：

    设 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为


    答案：
    解析：

  • 第2题：

    微分y″=x+sinx方程的通解是( )。(c1，c2为任意常数)

    A.
    B.
    C.
    D.

    答案：B
    解析：

  • 第3题：

    微分方程y''-4y=4的通解是（ ）（C1,C2为任意常数)。


    答案：B
    解析：
    提示：显然C不是通解；对应齐次方程的通解为C1e2x+C2e-2x ,y=-1是一个特解，故应选B。

  • 第4题：

    以.为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为_____


    答案：
    解析：
    所给问题为求解微分方程的反问题．常见的求解方法有两种：解法1先由通解写出二阶线性常系数齐次微分方程的特解，再由此写出方程的特征根r1，
    r2，第三步写出特征方程(r-r1)(r-r2)=0，再依此写出相应的微分方程；
    解法2由所给方程的通解，利用微分法消去任意常数，得出微分方程．这里只利用解法1求解．由于二阶线性常系数齐次微分方程的通解为，由其解的结构定理可知方程有两个特解：，从而知道特征方程的二重根r=1．

  • 第5题：

    二阶线性常系数齐次微分方程y″+2y=0的通解为____．


    答案：
    解析：

  • 第6题：

    设y1、y2是二阶常系数线性齐次方程y"+p1y'十p2y=0的两个特解，C1、C2为两个任意常数，则下列命题中正确的是（）

    A.C1y1+C2y2为该方程的通解
    B.C1y1+C2y2不可能是该方程的通解
    C.C1y1+C2y2为该方程的解
    D.C1y1+C2y2不是该方程的解

    答案：C
    解析：
    由线性方程解的结构定理知应选C．仅当y1、y2为线性无关特解时，A才正确．

  • 第7题：

    单选题
    若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C1＋C2x）ex，则非齐次方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝（　　）。
    A

    xex＋x2＋2

    B

    －xex＋x2＋2

    C

    －xex＋x＋2

    D

    －xex＋x


    正确答案： B
    解析：
    由题意可知，r＝1是已知齐次方程对应的特征方程的二重根，则该特征方程为（r－1）2＝r2－2r＋1＝0，齐次方程为y″－2y′＋y＝0设y*＝Ax＋B为已知非齐次方程y″－2y′＋y＝x的特解，代入y″－2y′＋y＝x得0－2A＋Ax＋B＝x，则A＝1，B＝2A＝2。故已知非齐次方程的通解为y＝（C1＋C2x）ex＋x＋2。又y（0）＝2，y′（0）＝0，代入以上通解得C1＝0，C2＝－1。故所求方程特解为y＝－xex＋x＋2。

  • 第8题：

    填空题
    若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C1＋C2x）ex，则非齐次方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝____。

    正确答案： -xex+x+2
    解析：
    由题意可知，r＝1是已知齐次方程对应的特征方程的二重根，则该特征方程为（r－1）2＝r2－2r＋1＝0，齐次方程为y″－2y′＋y＝0设y*＝Ax＋B为已知非齐次方程y″－2y′＋y＝x的特解，代入y″－2y′＋y＝x得0－2A＋Ax＋B＝x，则A＝1，B＝2A＝2。故已知非齐次方程的通解为y＝（C1＋C2x）ex＋x＋2。又y（0）＝2，y′（0）＝0，代入以上通解得C1＝0，C2＝－1。故所求方程特解为y＝－xex＋x＋2。

  • 第9题：

    填空题
    微分方程y″－2y′＋2y＝ex的通解为____。

    正确答案： y=ex(c1cosx+c2sinx)+ex
    解析：
    原微分方程为y″－2y′＋2y＝ex，其对应的齐次方程为y″－2y′＋2y＝0，该齐次方程的特征方程为r2－2r＋2＝0，解得r1，2＝1±i。故原方程对应的齐次方程的通解为y(＿)＝ex（c1cosx＋c2sinx）。设y*＝Aex为原方程的特解，将其代入原方程可解得A＝1。故原方程的通解为y＝ex（c1cosx＋c2sinx）＋ex。

  • 第10题：

    填空题
    设y1＝3＋x2，y2＝3＋x2＋e－x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应的齐次方程有一个解为y3＝x，则该方程的通解为____。

    正确答案： y=3+x2+c1x+c2e-x
    解析：
    由解的叠加原理可知，y2－y1＝e－x是原方程对应齐次方程的一个特解，可知该特解与题中给出的y3＝x线性无关，则原方程的通解为y＝3＋x2＋c1x＋c2e－x。

  • 第11题：

    单选题
    设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为（　　）。
    A

    y″－y′＋y＝0

    B

    y″－2y′＋2y＝0

    C

    y″－2y′＝0

    D

    y′＋2y＝0


    正确答案： A
    解析：
    根据题中所给的通解y＝ex（c1sinx＋c2cosx）的结构可知，所求方程对应的特征根为λ1，2＝1±i，特征方程为[λ－（1＋i）][λ－（1－i）]＝λ2－2λ＋2＝0，则所求方程为y″－2y′＋2y＝0。

  • 第12题：

    单选题
    设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为（　　）。
    A

    y″＋2y′＋2y＝0

    B

    y″－2y′＋2y＝0

    C

    y″－2y′－2y＝0

    D

    y″＋2y′＋2y＝0


    正确答案： A
    解析：
    根据题中所给的通解y＝ex（c1sinx＋c2cosx）的结构可知，所求方程对应的特征根为λ1，2＝1±i，特征方程为[λ－（1＋i）][λ－（1－i）]＝λ2－2λ＋2＝0，则所求方程为y″－2y′＋2y＝0。

  • 第13题：

    微分方程y''=x+sinx的通解是（c1，c2为任意常数）：


    答案：B
    解析：
    提示 本题为可降阶的高阶微分方程，连续积分二次，得通解。

  • 第14题：

    微分方程y″-4y=4的通解是( )。(c1，c2为任意常数)

    A.
    B.
    C.e2x-e-2x+1
    D.c1e2x+c2e-2x-2

    答案：B
    解析：

  • 第15题：

    微分方程y''=y'2的通解是（ ）（C1、C2为任意常数）。


    答案：D
    解析：
    提示：这是不显含y可降阶微分方程，令p=y',则dp/dx=y'',用分离变量法求解得，-y'=1/(x+C1) ，两边积分，可得y=C2-ln x+C1 ，故应选D,也可采用检验的方式。

  • 第16题：

    设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为______．


    答案：
    解析：
    由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为其中C1，C2为任意常数．

  • 第17题：

    二阶常系数齐次微分方程y″-4y′+4y=0的通解为_____．


    答案：
    解析：

  • 第18题：

    微分方程y"=y’2的通解是（）（C1、C2为任意常数）。

    • A、lnx+C
    • B、ln（x+C）
    • C、C2+ln
    • D、C2-ln

    正确答案:D

  • 第19题：

    单选题
    微分方程y"=y’2的通解是（）（C1、C2为任意常数）。
    A

    lnx+C

    B

    ln（x+C）

    C

    C2+ln

    D

    C2-ln


    正确答案： C
    解析： 暂无解析

  • 第20题：

    单选题
    设函数y1（x）、y2（x）、y3（x）线性无关，且都是二阶非齐次线性方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，又c1与c2为任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为（　　）。
    A

    c1y1＋c2y2＋y3

    B

    c1y1＋c2y2－（c2＋c1）y3

    C

    c1y1＋c2y2－（1－c1－c2）y3

    D

    c1y1＋c2y2＋（1－c1－c2）y3


    正确答案： C
    解析：
    由解的结构可知，y1－y3和y2－y3是对应齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的解，且二者线性无关，故y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的通解为c1（y1－y3）＋c2（y2－y3），其中c1，c2为任意常数。故方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的通解为c1（y1－y3）＋c2（y2－y3）＋y3，即c1y1＋c2y2＋（1－c1－c2）y3。

  • 第21题：

    问答题
    设y1＝x，y2＝x＋e2x，y3＝x（1＋e2x）是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求该方程及其通解。

    正确答案：
    由题意可知,y2-y1=e2x,y3-y1=xe2x是对应齐次方程的两个线性无关的解,齐次方程的通解为y(_)=(C1+C2x)e2x,且特征方程有二重根r1,2=2,则特征方程为(r-2)2=r2-4r+4=0,则齐次方程为y″-4y′+4y=0。
    令所求非齐次方程为y″-4y′+4y=f(x),将其解之一y1=x代入得f(x)=4x-4,则所求方程为y″-4y′+4y=4x-4,又齐次方程的通解为y(_)=(C1+C2x)e2x,且非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e2x+x。
    解析： 暂无解析

  • 第22题：

    单选题
    二阶常系数非齐次线性微分方程y″－4y′＋3y＝2e2x的通解为y＝（　　）。
    A

    C1x＋C2x3＋2e2x（其中C1，C2为任意常数）

    B

    C1x＋C2x3－2e2x（其中C1，C2为任意常数）

    C

    C1ex＋C2e3x－2e2x（其中C1，C2为任意常数）

    D

    C1ex＋C2e3x＋2e2x（其中C1，C2为任意常数）


    正确答案： D
    解析：
    原微分方程为y″－4y′＋3y＝2e2x，对应齐次方程y″－4y′＋3y＝0的特征方程为r2－4r＋3＝0，特征根为r1＝1，r2＝3。故原方程所对应齐次方程的通解为y(＿)＝C1ex＋C2e3x。设y*＝Ae2x是原方程的特解，代入原方程解得A＝－2，故原方程的通解为y＝C1ex＋C2e3x－2e2x，其中C1，C2为任意常数。

  • 第23题：

    填空题
    已知某二阶非齐次线性微分方程的三个解分别为y1＝ex，y2＝xex，y3＝x2ex，则它的通解为____。

    正确答案： y=C1(x-1)ex+C2(x2-1)ex+ex
    解析：
    因为y1＝ex，y2＝xex，y3＝x2ex是二阶非齐次微分方程的特解，故xex－ex，x2ex－ex是该微分方程对应齐次微分方程的两个线性无关的解。故二阶非齐次微分方程的通解为y＝C1（xex－ex）＋C2（x2ex－ex）＋ex，化简可得y＝C1（x－1）ex＋C2（x2－1）ex＋ex。

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