单选题n元线性方程组AX(→)＝b(→)有唯一解的充要条件为（　　）。A A为方阵且｜A｜≠0B 导出组AX(→)＝0(→)仅有零解C 秩（A）＝nD 系数矩阵A的列向量组线性无关，且常数向量b(→)与A的列向量组线性相关

题目
单选题
n元线性方程组AX(→)＝b(→)有唯一解的充要条件为（　　）。
A

A为方阵且｜A｜≠0

B

导出组AX(→)＝0(→)仅有零解

C

秩（A）＝n

D

系数矩阵A的列向量组线性无关，且常数向量b(→)与A的列向量组线性相关

相似考题

1.没A是n*n常数矩阵(n>1),X是由未知数X1,X2,…,Xn组成的列向量,B是由常数b1,b2,…,bn组成的列向量,线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件不是()。A.A的秩等于nB.A的秩不等于0C.A的行列式值不等于0D.A存在逆矩阵

2.设A为m*n矩阵,则有()。A、若mn，则有ax=b无穷多解B、若mn，则有ax=0非零解，且基础解系含有n-m个线性无关解向量;C、若A有n阶子式不为零，则Ax=b有唯一解;D、若A有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。

3.设A为n阶方阵,r(A)n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是()A、Ax=0只有零解B、Ax=0的基础解系含r(A)个解向量C、Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量D、Ax=0没有解

4.线性方程组Ax=o只有零解的充分必要条件是()A、A的行向量组线性无关B、A的行向量组线性相关C、A的列向量组线性无关D、A的列向量组线性相关

参考答案和解析
正确答案： C
解析：
A项，系数矩阵A不一定是方阵；B项，导出组只有零解，方程组AX(→)＝b(→)不一定有解；C项，当r（A）＝n时，不一定有r（A）＝r（A(＿)）＝n；D项，b(→)可由A的列向量组线性表示，则方程组AX(→)＝b(→)有唯一解。
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  • 第1题：

    矩阵A是m×n矩阵,齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件是A的列向量线性无关。()

    此题为判断题(对，错)。


    参考答案：正确

  • 第2题：

    设A是n*n常数矩阵(n＞1)，X是由未知数X1、X2、…、Xn组成的列向量，B是由常数b1、b2、…、bn组成的列向量，线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件不是______。

    A．A的秩等于n

    B．A的秩不等于0

    C．A的行列式值不等于0

    D．A存在逆矩阵

    A．

    B．

    C．

    D．


    正确答案：B
    解析：本题考查线性代数的基础知识。
      矩阵概念来源于求解线性方程组。有了矩阵概念后，线性方程组就可以用非常简略的形式AX=B来描述。A就是线性方程组的系数矩阵。矩阵的加法来源于两个线性方程组分别相加；矩阵乘法来源于线性方程组变量的线性变换。
      推导线性方程组的求解公式时可以发现，解的公式表示中，分母就是系数矩阵A的行列式。因此，该线性方程组有唯一解的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0。
      推导矩阵A的逆矩阵公式时，其分母也是矩阵A的行列式。因此，矩阵A存在逆矩阵的充分必要条件是矩阵A的行列式不为0。
      线性方程组有唯一解的充分必要条件是这几个方程是线性无关的，或线性独立的(不能由其中几个方程导出其他某个方程)。方程少、未知数多时，线性方程组将不会有唯一解。系数矩阵A的秩就是其中线性方程组中线性无关的方程个数。如果A的秩等于行列数n，即满秩，那这些方程就是线性独立的，或线性无关的(不能互相推导出来的)。这种线性方程组就有唯一解。如果A的秩小于行列数n，即不满秩，那这些方程就不是线性独立的，其中有些方程是可以从其他方程推导出来的，因此，该线性方程组就不会有唯一解。反之亦然。
      因此，线性方程组AX=B有唯一解，等价于矩阵A有逆矩阵，也等价于矩阵A的行列式不为0，也等价于矩阵A的秩为n(满秩)。

  • 第3题：

    设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有


    A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关
    B.A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关
    C.A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关
    D.A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关


    答案：A
    解析：

  • 第4题：

    设A为m×n阶矩阵,则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是().


    A.r(A)=m
    B.r(A)=N
    C.A为可逆矩阵
    D.r(A)=b且b可由A的列向量组线性表示


    答案：D
    解析：
    方程组AX=b有解的充分必要条件是6可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选(D).

  • 第5题：

    设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（ ）。

    A.A的列向量组线性无关
    B.A的列向量组线性相关
    C.A的行向量组线性无关
    D.A的行向量组线性相关

    答案：A
    解析：
    n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是r（A）=n，即A的列向量组线性无关。

  • 第6题：

    设A为4X5矩阵，且A的行向量组线性无关，则（ ）.《》（ ）

    A.A的列向量组线性无关
    B.方程组AX=b有无穷多解
    C.方程组AX=b的增广矩阵的任意四个列向量构成的向量组线性无关
    D.A的任意4个列向量构成的向量组线性无关

    答案：B
    解析：
    方程组AX=b的行向量组线性无关，则r（A）=4，而未知数的个数为5，故方程组中含有一个自由未知数，它有无穷多解.

  • 第7题：

    设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充要条件为（ ）。

    A.r=n
    B.r＜n
    C.r≥n
    D.r＞n

    答案：B
    解析：
    Ax=0有非零解的充要条件为｜A｜=0，即矩阵A不是满秩的，r＜n。

  • 第8题：

    单选题
    设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充分条件是（　　）。
    A

    A的列向量组线性无关

    B

    A的列向量组线性相关

    C

    A的行向量组线性无关

    D

    A的行向量组线性相关


    正确答案： A
    解析：
    因为AX(→)＝0(→)仅有零解的充分必要条件是A的秩r（A）＝n，所以A的列向量组线性无关是AX(→)＝0(→)仅有零解的充分条件。

  • 第9题：

    单选题
    没A是n*n常数矩阵（n>1），X是由未知数X1，X2，…，Xn组成的列向量，B是由常数b1，b2，…，bn组成的列向量，线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件不是（）。
    A

    A的秩等于n

    B

    A的秩不等于0

    C

    A的行列式值不等于0

    D

    A存在逆矩阵


    正确答案： D
    解析： A的秩不等于0不是线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件。

  • 第10题：

    单选题
    设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|（　　）。
    A

    ＝0

    B

    ≠0

    C

    ＝1

    D

    ≠1


    正确答案： B
    解析：
    依据齐次线性方程组性质可知，系数行列式|A|≠0时，方程组仅有零解。

  • 第11题：

    单选题
    n元线性方程组AX(→)＝b(→)有唯一解的充要条件为（　　）。
    A

    A为方阵且｜A｜≠0

    B

    导出组AX(→)＝0(→)仅有零解

    C

    秩（A）＝n

    D

    系数矩阵A的列向量组线性无关，且常数向量b(→)与A的列向量组线性相关


    正确答案： C
    解析：
    A项，系数矩阵A不一定是方阵；B项，导出组只有零解，方程组AX(→)＝b(→)不一定有解；C项，当r（A）＝n时，不一定有r（A）＝r（A(＿)）＝n；D项，b(→)可由A的列向量组线性表示，则方程组AX(→)＝b(→)有唯一解。

  • 第12题：

    设A为m×n阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是(64)。

    A．A的列向量组线性无关

    B．A的列向量组线性相关

    C．A的行向量组线性无关

    D．A的行向量组线性相关

    A.A的列向量组线性无关

    B.A的列向量组线性相关

    C.A的行向量组线性无关

    D.A的行向量组线性相关


    正确答案：A
    解析：齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关

  • 第13题：

    设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有(56)。

    A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

    B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关

    C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关

    D．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关


    正确答案：A
    解析：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，那么r(A)+r(B)≤n由于A、B均非零矩阵，故0r(A)n，0r(B)n。由秩r(A)=A的列秩，知A的列向量组线性相关。由秩r(B)=月的列秩，知B的行向量组线性相关。故应选A。

  • 第14题：

    设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　　）。

    A、矩阵A的任意两个列向量线性相关
    B、矩阵A的任意两个列向量线性无关
    C、矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合
    D、矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合

    答案：D
    解析：

  • 第15题：

    设n阶矩阵A的伴随矩阵A^*≠0，若ζ1，ζ2，ζ3，ζ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系

    A.不存在.
    B.仅含一个非零解向量.
    C.含有两个线性无关的解向量.
    D.含有三个线性无关的解向量.

    答案：B
    解析：

  • 第16题：

    若A是m×n矩阵，且m≠n，则当A的列向量组线性无关时，A的行向量组也线性无关


    答案：错
    解析：

  • 第17题：

    设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是（ ）.

    A.A的列向量组线性无关
    B.A的列向量组线性相关
    C.A的行向量组线性无关
    D.A的行向量组线性相关

    答案：A
    解析：
    因为AX=0仅有零解的充分必要条件是A的秩r（A）=n，所以A的列向量组线性无关是AX=0仅有零解的充分条件.

  • 第18题：

    填空题
    设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|____。

    正确答案： ≠0
    解析：
    依据齐次线性方程组性质可知，系数行列式|A|≠0时，方程组仅有零解。

  • 第19题：

    单选题
    设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　　）。[2017年真题]
    A

    矩阵A的任意两个列向量线性相关

    B

    矩阵A的任意两个列向量线性无关

    C

    矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合

    D

    矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合


    正确答案： D
    解析：
    线性方程组Ax＝0有非零解⇔|A|＝0⇔r（A）＜n，矩阵A的列向量线性相关，所以矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合。

  • 第20题：

    单选题
    设A为4×5矩阵，且A的行向量组线性无关，则（　　）。
    A

    A的列向量组线性无关

    B

    方程组AX(→)＝b(→)有无穷多解

    C

    方程组AX(→)＝b(→)的增广矩阵A(＿)的任意四个列向量构成的向量组线性无关

    D

    A的任意4个列向量构成的向量组线性无关


    正确答案： B
    解析：
    方程组AX(→)＝b(→)的行向量组线性无关，则r（A）＝4，而未知数的个数为5，故方程组中含有一个自由未知数，它有无穷多解。

  • 第21题：

    单选题
    设A，B为满足AB＝0(→)的任意两个非零矩阵，则必有（　　）。
    A

    A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

    B

    A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关

    C

    A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关

    D

    A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关


    正确答案： D
    解析：
    设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，由AB＝0(→)知r（A）＋r（B）≤n，又r（A）≥1，r（B）≥1，因此r（A）＜n，r（B）＜n，说明A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。

  • 第22题：

    单选题
    设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|（　　）。
    A

    ＜0

    B

    ≠0

    C

    ＞0

    D

    ＝0


    正确答案： A
    解析：
    依据齐次线性方程组性质可知，系数行列式|A|≠0时，方程组仅有零解。

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