单选题设常系数线性齐次方程的特征方程有根r1，2＝－1，r3，4＝±i，则此方程的通解为（　　）。A y＝（c1＋c2x）e－x＋c3cosx＋c4sinxB y＝c1e－x＋c2cosx＋c3sinxC y＝c1ex＋c2cosx＋c3sinxD y＝c1e－x＋（c2＋x）cosx＋c3sinx

题目
单选题
设常系数线性齐次方程的特征方程有根r1，2＝－1，r3，4＝±i，则此方程的通解为（　　）。
A

y＝（c1＋c2x）e－x＋c3cosx＋c4sinx

B

y＝c1e－x＋c2cosx＋c3sinx

C

y＝c1ex＋c2cosx＋c3sinx

D

y＝c1e－x＋（c2＋x）cosx＋c3sinx

相似考题

1.若 Normal 0 7.8 磅 0 2 false false false EN-US ZH-CN X-NONE MicrosoftInternetExplorer4 y1·y2为二阶线性常系数微分方程y〞+p1y＇+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2（）.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

2.已知是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=________.

3.设非齐次线性微分方程y´+P(x)y=Q(x)有两个不同的解析：y1(x)与y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是( ).A.C[(y1(x)-y2(x)] B.y1(x)+C[(y1(x)-y2(x)] C.C[(y1(x)+y2(x)] D.y1(x)+C[(y1(x)+y2(x)]

4.若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)e^x，则非齐次方程y"+ay'+by=x满足条件y(0)=2，y'(0)=0的解为y=________.

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  • 第1题：

    3阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=________


    答案：
    解析：

  • 第2题：

    若y1（x）是线性非齐次方程y'+p（x）y=Q（x）的一个特解，则该方程的通解是下列中哪一个方程？


    答案：B
    解析：
    提示：非齐次方程的通解是由齐次方程的通解加非齐次方程的特解构成，令Q（x）=0，求对应齐次方程y'+p（x）y=0的通解。

  • 第3题：

    设线性无关函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程y"+pxy'+Qxy=fx的解，c1、c2是待定常数。则此方程的通解是：

    A. c1y1+c2y2+y3
    B.c1y1+c2y2-（c1+c3）y3
    C. c1y1+c2y2-（1-c1-c2）y3
    D.c1y1+c2y2+（1-c1-c2）y3

    答案：D
    解析：
    提示：y1-y3，y2-y3为对应齐次方程二个线性无关解，y3为非齐次方程的特解。

  • 第4题：

    已知。r1=3,r2=-3是方程y+py+q=0 (p和q是常数）的特征方程的两个根, 则该微分方程是（ ）。
    A. y+9y=0= 0 B. y-9y=0
    C. y+9y=0 D.y-9y=0=0


    答案：D
    解析：
    提示：先写出特征方程。

  • 第5题：

    二阶线性常系数齐次微分方程y″+2y=0的通解为____．


    答案：
    解析：

  • 第6题：

    设y1、y2是二阶常系数线性齐次方程y"+p1y'十p2y=0的两个特解，C1、C2为两个任意常数，则下列命题中正确的是（）

    A.C1y1+C2y2为该方程的通解
    B.C1y1+C2y2不可能是该方程的通解
    C.C1y1+C2y2为该方程的解
    D.C1y1+C2y2不是该方程的解

    答案：C
    解析：
    由线性方程解的结构定理知应选C．仅当y1、y2为线性无关特解时，A才正确．

  • 第7题：

    填空题
    设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____。

    正确答案： y″-2y′+2y=0
    解析：
    根据题中所给的通解y＝ex（c1sinx＋c2cosx）的结构可知，所求方程对应的特征根为λ1，2＝1±i，特征方程为[λ－（1＋i）][λ－（1－i）]＝λ2－2λ＋2＝0，则所求方程为y″－2y′＋2y＝0。

  • 第8题：

    填空题
    若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C1＋C2x）ex，则非齐次方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝____。

    正确答案： -xex+x+2
    解析：
    由题意可知，r＝1是已知齐次方程对应的特征方程的二重根，则该特征方程为（r－1）2＝r2－2r＋1＝0，齐次方程为y″－2y′＋y＝0设y*＝Ax＋B为已知非齐次方程y″－2y′＋y＝x的特解，代入y″－2y′＋y＝x得0－2A＋Ax＋B＝x，则A＝1，B＝2A＝2。故已知非齐次方程的通解为y＝（C1＋C2x）ex＋x＋2。又y（0）＝2，y′（0）＝0，代入以上通解得C1＝0，C2＝－1。故所求方程特解为y＝－xex＋x＋2。

  • 第9题：

    单选题
    设函数y1（x）、y2（x）、y3（x）线性无关，且都是二阶非齐次线性方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，又c1与c2为任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为（　　）。
    A

    c1y1＋c2y2＋y3

    B

    c1y1＋c2y2－（c2＋c1）y3

    C

    c1y1＋c2y2－（1－c1－c2）y3

    D

    c1y1＋c2y2＋（1－c1－c2）y3


    正确答案： C
    解析：
    由解的结构可知，y1－y3和y2－y3是对应齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的解，且二者线性无关，故y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的通解为c1（y1－y3）＋c2（y2－y3），其中c1，c2为任意常数。故方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的通解为c1（y1－y3）＋c2（y2－y3）＋y3，即c1y1＋c2y2＋（1－c1－c2）y3。

  • 第10题：

    单选题
    设常系数线性齐次方程的特征方程有根r1，2＝－1，r3，4＝±i，则此方程的通解为（　　）。
    A

    y＝（c1＋c2x）e－x＋c3cosx＋c4sinx

    B

    y＝c1e－x＋c2cosx＋c3sinx

    C

    y＝c1ex＋c2cosx＋c3sinx

    D

    y＝c1e－x＋（c2＋x）cosx＋c3sinx


    正确答案： D
    解析：
    由题意可知，－1为二重根，通解中应含有（c1＋c2x）e－x项。又r3，4＝±i，则通项中含有c3cosx＋c4sinx项，故此方程的通解为y＝（c1＋c2x）e－x＋c3cosx＋c4sinx

  • 第11题：

    单选题
    已知r1=3，r2=-3是方程y″+py′+q=0（p和q是常数）的特征方程的两个根，则该微分方程是下列中哪个方程（）？
    A

    y″+9y′=0

    B

    y″-9y′=0

    C

    y″+9y=0

    D

    y″-9y=0


    正确答案： D
    解析： 暂无解析

  • 第12题：

    单选题
    设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为（　　）。
    A

    y″－y′＋y＝0

    B

    y″－2y′＋2y＝0

    C

    y″－2y′＝0

    D

    y′＋2y＝0


    正确答案： A
    解析：
    根据题中所给的通解y＝ex（c1sinx＋c2cosx）的结构可知，所求方程对应的特征根为λ1，2＝1±i，特征方程为[λ－（1＋i）][λ－（1－i）]＝λ2－2λ＋2＝0，则所求方程为y″－2y′＋2y＝0。

  • 第13题：

    设非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程通解是( )。

    A.C[y1(x)-y2(x)]
    B.y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]
    C.C[y1(x)+y2(x)]
    D.y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]

    答案：B
    解析：
    因为y1(x)，y2(x)是y′+P(x)y=Q(x)的两个不同的解，所以C(y1(x)-y2(x))是齐次方程y′+P(x)y=0的通解，进而y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]是题中非齐次方程的通解。

  • 第14题：

    已知r1=3，r2=-3是方程y"+py'+qy=0（p和q是常数）的特征方程的两个根，则该微分方程是下列中哪个方程？

    A. y"+9y'=0
    B. y"-9y'=0
    C. y"+9y=0
    D. y"-9y=0

    答案：D
    解析：
    提示：利用r1=3，r2=-3写出对应的特征方程。

  • 第15题：

    已知齐次方程xy´´+y´=0有一个特解为lnx，则该方程的通解为( ).

    A.
    B.
    C.y=C(lnx+1)
    D.y=C(lnx+x)

    答案：A
    解析：

  • 第16题：

    设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为______．


    答案：
    解析：
    由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为其中C1，C2为任意常数．

  • 第17题：

    二阶常系数齐次微分方程y″-4y′+4y=0的通解为_____．


    答案：
    解析：

  • 第18题：

    已知齐次方程xy"+y’=0有一个特解为lnx，则该方程的通解为（）．

    • A、y=C1lnx+C2
    • B、y=C1lnx+C2X
    • C、y=C（lnx+1）
    • D、y=C（lnx+x）

    正确答案:A

  • 第19题：

    单选题
    若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C1＋C2x）ex，则非齐次方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝（　　）。
    A

    xex＋x2＋2

    B

    －xex＋x2＋2

    C

    －xex＋x＋2

    D

    －xex＋x


    正确答案： B
    解析：
    由题意可知，r＝1是已知齐次方程对应的特征方程的二重根，则该特征方程为（r－1）2＝r2－2r＋1＝0，齐次方程为y″－2y′＋y＝0设y*＝Ax＋B为已知非齐次方程y″－2y′＋y＝x的特解，代入y″－2y′＋y＝x得0－2A＋Ax＋B＝x，则A＝1，B＝2A＝2。故已知非齐次方程的通解为y＝（C1＋C2x）ex＋x＋2。又y（0）＝2，y′（0）＝0，代入以上通解得C1＝0，C2＝－1。故所求方程特解为y＝－xex＋x＋2。

  • 第20题：

    单选题
    设函数y1，y2，y3都是线性非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，则函数y＝（1－c1－c2）y1＋c1y2＋c2y3（　　）。（c1，c2为任意常数）
    A

    是所给方程的通解

    B

    不是方程的解

    C

    是所给方程的特解

    D

    可能是方程的通解，但一定不是其特解


    正确答案： C
    解析：
    由于y1，y2，y3都是y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，则y2－y1，y3－y1是它对应的齐次方程的特解，故y＝（1－c1－c2）y1＋c1y2＋c2y3＝y1＋c1（y2－y1）＋c2（y3－y1）是非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，但是，由于无法确定y2－y1与y3－y1是否为线性无关，故不能肯定它是y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的通解。

  • 第21题：

    问答题
    设y1＝x，y2＝x＋e2x，y3＝x（1＋e2x）是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求该方程及其通解。

    正确答案：
    由题意可知,y2-y1=e2x,y3-y1=xe2x是对应齐次方程的两个线性无关的解,齐次方程的通解为y(_)=(C1+C2x)e2x,且特征方程有二重根r1,2=2,则特征方程为(r-2)2=r2-4r+4=0,则齐次方程为y″-4y′+4y=0。
    令所求非齐次方程为y″-4y′+4y=f(x),将其解之一y1=x代入得f(x)=4x-4,则所求方程为y″-4y′+4y=4x-4,又齐次方程的通解为y(_)=(C1+C2x)e2x,且非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e2x+x。
    解析： 暂无解析

  • 第22题：

    填空题
    设y1＝3＋x2，y2＝3＋x2＋e－x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应的齐次方程有一个解为y3＝x，则该方程的通解为____。

    正确答案： y=3+x2+c1x+c2e-x
    解析：
    由解的叠加原理可知，y2－y1＝e－x是原方程对应齐次方程的一个特解，可知该特解与题中给出的y3＝x线性无关，则原方程的通解为y＝3＋x2＋c1x＋c2e－x。

  • 第23题：

    单选题
    设非齐次线性微分方程y′＋P（x）y＝Q（x）有两个不同的解y1（x），y2（x），C为任意常数，则该方程的通解是（　　）。
    A

    C[y1（x）－y2（x）]

    B

    y1（x）＋C[y1（x）－y2（x）]

    C

    C[y1（x）＋y2（x）]

    D

    y1（x）＋C[y1（x）＋y2（x）]


    正确答案： B
    解析：
    由题意可知，y(＿)＝y1（x）－y2（x）是y′＋P（x）y＝0的一个解，则y′＋P（x）y＝0的通解是C[y1（x）－y2（x）]。故所求方程通解为y1（x）＋C[y1（x）－y2（x）]

  • 第24题：

    单选题
    设y＝ex（c1sinx＋c2cosx）（c1、c2为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为（　　）。
    A

    y″＋2y′＋2y＝0

    B

    y″－2y′＋2y＝0

    C

    y″－2y′－2y＝0

    D

    y″＋2y′＋2y＝0


    正确答案： A
    解析：
    根据题中所给的通解y＝ex（c1sinx＋c2cosx）的结构可知，所求方程对应的特征根为λ1，2＝1±i，特征方程为[λ－（1＋i）][λ－（1－i）]＝λ2－2λ＋2＝0，则所求方程为y″－2y′＋2y＝0。

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