单选题向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关的充要条件是（　　）。A α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为零向量B 其中有一个部分组线性相关C α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量都能由其余向量线性表示D 其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合

题目
单选题
向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关的充要条件是（　　）。
A

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为零向量

B

其中有一个部分组线性相关

C

α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量都能由其余向量线性表示

D

其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合

相似考题

1.设向量组I：α1，α2，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．

2.设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　　）。 A、矩阵A的任意两个列向量线性相关 B、矩阵A的任意两个列向量线性无关 C、矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合 D、矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合

3.设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则A.当rB.当r>s时，向量组Ⅱ必线性相关 C.当rD.当r>s时，向量组Ⅰ必线性相关

4.向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关的充要条件是( )。 A、α1，α2，…，αm中至少有一个零向量 B、α1，α2，…，αm中至少有两个向量成比例 C、存在不全为零的常数k1，k2，…，km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0 D、α1，α2，…，αm中每个向量都能由其余向量线性表示

参考答案和解析
正确答案： A
解析：
课本结论：α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关当且仅当α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一个向量为其他向量的线性组合。
更多“单选题向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关的充要条件是（　　）。A α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均为零向量B 其中有一个部分组线性相关C α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量都能由其余向量线性表示D 其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合”相关问题

  • 第1题：

    设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。

    A.若向量组I线性无关．则r≤S
    B.若向量组I线性相关，则r>s
    C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
    D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s

    答案：A
    解析：
    由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即

  • 第2题：


    A.r＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
    B.r＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
    C.r＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
    D.r＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

    答案：D
    解析：

  • 第3题：

    单选题
    A

    矩阵A的任意两个列向量线性相关

    B

    矩阵A的任意两个列向量线性无关

    C

    矩阵A的任一列向量是其余向量的线性组合

    D

    矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合


    正确答案： B
    解析：

  • 第4题：

    单选题
    设向量组（I）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，其秩为r1；向量组（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)s，其秩为r2，且β(→)i（i＝1，2，…，s）均可以由α(→)1，…，α(→)s线性表示，则（　　）。
    A

    向量组α(→)1＋β(→)1，α(→)2＋β(→)2，…，α(→)s＋β(→)s的秩为r1＋r2

    B

    向量组α(→)1－β(→)1，α(→)2－β(→)2，…，α(→)s－β(→)s秩为rl－r2

    C

    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)s的秩为rl＋r2

    D

    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)s的秩为rl


    正确答案： C
    解析：
    向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)s可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，则向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)s也可由其线性表示，所以α(→)1，α(→)2，…，α(→)s向量组的极大线性无关组也是该向量组的极大线性无关组，故其秩为rl。

  • 第5题：

    单选题
    下列说法不正确的是（　　）.
    A

    s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关

    B

    s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关

    C

    s个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关.

    D

    s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关.


    正确答案： B
    解析：
    A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的．

  • 第6题：

    单选题
    设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（　　）.
    A

    r＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

    B

    r＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关

    C

    r＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关

    D

    r＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关


    正确答案： B
    解析：
    设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性．

  • 第7题：

    单选题
    向量组α1，α2，…，αs线性相关的充要条件是（　　）.
    A

    α1，α2，…，αs均为零向量

    B

    其中有一个部分组线性相关

    C

    α1，α2，…，αs中任意一个向量都能由其余向量线性表示

    D

    其中至少有一个向量可以表为其余向量的线性组合


    正确答案： C
    解析： 暂无解析

  • 第8题：

    单选题
    n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中没有零向量

    B

    向量组的个数不大于维数，即s≤n

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

    D

    某向量β(→)可由α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，且表示法唯一


    正确答案： B
    解析：
    A项，例如α(→)1＝（1，－1，2），α(→)2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α(→)1，α(→)2线性相关；
    B项，如A项中的例子，α(→)1，α(→)2个数小于维数，但其线性相关；
    C项，例如α(→)1＝（1，0，－1），α(→)2＝（0，3，0），α(→)3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
    D项，β(→)可由α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性表示，且表示法唯一，即α(→)1，α(→)2，…，α(→)s是α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)的线性极大无关组，故α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关。

  • 第9题：


    A.向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关
    B.向量组（Ⅰ）线性相关
    C.向量组（Ⅱ）线性相关
    D.向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关

    答案：D
    解析：
    由向量组（Ⅲ）线性相关，知矩阵AB不可逆，即｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，因此｜A｜、｜B｜中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关.

  • 第10题：

    单选题
    n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（　　）。
    A

    存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα(→)1＋k2α(→)2＋…＋ksα(→)s≠0(→)

    B

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量都线性无关

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中存在一个向量不能由其余向量线性表示

    D

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任何一个向量都不能由其余向量线性表示


    正确答案： C
    解析：
    向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。

  • 第11题：

    单选题
    设n阶方阵A＝（α(→)1，α(→)2，…，α(→)n），B＝（β(→)1，β(→)2，…，β(→)n），AB＝（γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n），记向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)n；（Ⅱ）： β(→)1，β(→)2，…，β(→)n；（Ⅲ）：γ(→)1，γ(→)2，…，γ(→)n。如果向量组（Ⅲ）线性相关，则（　　）。
    A

    向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）都线性相关

    B

    向量组（Ⅰ）线性相关

    C

    向量组（Ⅱ）线性相关

    D

    向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关


    正确答案： A
    解析：
    由向量组（Ⅲ）线性相关，知矩阵AB不可逆，即|AB|＝|A|·|B|＝0，因此|A|、|B|中至少有一个为0，即A与B中至少有一个不可逆，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）中至少有一个线性相关。

  • 第12题：

    单选题
    设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　　）。[2017年真题]
    A

    矩阵A的任意两个列向量线性相关

    B

    矩阵A的任意两个列向量线性无关

    C

    矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合

    D

    矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合


    正确答案： D
    解析：
    线性方程组Ax＝0有非零解⇔|A|＝0⇔r（A）＜n，矩阵A的列向量线性相关，所以矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合。

  • 第13题：

    单选题
    向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（　　）。
    A

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s均不为零向量

    B

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意两个向量的分量不成比例

    C

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意一个向量均不能由其余s－1个向量线性表示

    D

    α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中有一部分向量线性无关


    正确答案： D
    解析：
    A项，均不为零的向量未必线性无关；
    B项，例如α(→)1＝（1，0，0）T，α(→)2＝（0，1，0）T，α(→)3＝（1，1，0）T，则其中任意两个向量的分量均不成比例，但向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3线性相关；
    C项，反证法，如果α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则至少有一个向量可由其余s－1个向量线性表示，与题设矛盾；
    D项，向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中部分向量线性无关时，未必全部向量线性无关。

  • 第14题：

    问答题
    设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明：　　（1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组；　　（2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。

    正确答案：
    (1)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr,α(→)i(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
    (2)设①:α(→)j1,α(→)j2,…,α(→)jr是α(→)1,α(→)2,…,α(→)s中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。
    解析： 暂无解析

  • 第15题：

    单选题
    设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（　　）。
    A

    必定r＜s

    B

    向量组中任意个数小于r的部分组线性无关

    C

    向量组中任意r个向量线性无关

    D

    若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关


    正确答案： B
    解析：
    A项，r可能与s相等；
    B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
    C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
    D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。

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