填空题微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为____。

题目
填空题
微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为____。
相似考题

1.微分方程y′-3y =O的通解为______.

2.求微分方程y"-3y'+2y=2xe^x的通解.

3.微分方程的通解为

4.微分方程的通解为y=________.

参考答案和解析
正确答案： y=c1/x3+c2x+x3/12
解析：
原微分方程为x2y″＋3xy′－3y＝x3，其欧拉方程形式为D（D－1）y＋3Dy－3y＝e3t，即D2y＋2Dy－3y＝e3t，即d2y/dt2＋2dy/dt－3y＝e3t 。解得其通解为y＝c1e－3t＋c2et＋e3t/12，即y＝c1/x3＋c2x＋x3/12。
更多“填空题微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为____。”相关问题

  • 第1题：

    3阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=________


    答案：
    解析：

  • 第2题：

    在下列微分方程中，以函数y＝C1e^－x＋C2e^4x（C1，C2为任意常数）为通解的微分方程是（　　）。

    A． y″＋3y′－4y＝0
    B． y″－3y′－4y＝0
    C． y″＋3y′＋4y＝0
    D． y″＋y′－4y＝0

    答案：B
    解析：

    由题意知，二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为－1和4，只有B项满足。
    【总结】求二阶常系数齐次线性微分方程y″＋py′＋qy＝0的通解的步骤：
    ①写出微分方程的特征方程r2＋pr＋q＝0；
    ②求出特征方程的两个根r1，r2；
    ③根据r1，r2的不同情形，写出微分方程的通解：
    a．当r1≠r2，



    b．当r1＝r2，



    c．一对共轭复根r1，2＝α±βi，y＝eαx（C1cosβx＋C2sinβx）。

  • 第3题：

    微分方程y′+y=0的通解为（ ）.《》（ ）


    答案：D
    解析：

  • 第4题：

    微分方程yy'=1的通解为（）


    答案：D
    解析：

  • 第5题：

    微分方程y′-2xy=0的通解为y=_____.


    答案：
    解析：
    所给方程为可分离变量方程．

  • 第6题：

    微分方程（y′）3y″=1的阶数为：（）

    • A、1
    • B、2
    • C、3
    • D、5

    正确答案:B

  • 第7题：

    填空题
    微分方程y″＋[2/（1－y）]（y′）2＝0的通解为____。

    正确答案： y=1-1/(c1x+c2)
    解析：
    原微分方程为y″＋[2/（1－y）]（y′）2＝0，令y′＝p，则y″＝pdp/dy，原方程变形为pdp/dy＋2p2/（1－y）＝0，即p[dp/dy＋2p/（1－y）]＝0。如果p＝0，则y＝c，这不是此方程的通解。如果p≠0，则有dp/dy＝2p/（y－1），分离变量并积分得ln|p|＝2ln|y－1|＋ln|c|，p＝c1（y－1）2 即 dy/dx＝c1（y－1）2故∫dy/（y－1）2＝∫c1dx⇒－1/（y－1）＝c1x＋c2⇒y＝1－1/（c1x＋c2）。

  • 第8题：

    单选题
    微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为（　　）。
    A

    y＝c1/x2＋c2x＋x3/12

    B

    y＝c1/x3＋c2x＋x3/12

    C

    y＝c1/x3＋c2x＋x3/14

    D

    y＝c1/x3＋c2x＋x3/16


    正确答案： D
    解析：
    原微分方程为x2y″＋3xy′－3y＝x3，其欧拉方程形式为D（D－1）y＋3Dy－3y＝e3t，即D2y＋2Dy－3y＝e3t，即d2y/dt2＋2dy/dt－3y＝e3t。解得其通解为y＝c1e－3t＋c2et＋e3t/12，即y＝c1/x3＋c2x＋x3/12。

  • 第9题：

    填空题
    微分方程xy″＋3y′＝0的通解为____。

    正确答案： y=-c1/(2x2)+c2
    解析：
    原微分方程为xy″＋3y′＝0，令y′＝p，则y″＝p′，则原方程变形为xp′＝－3p，即dp/dx＝－3p/x，分离变量并两边积分得∫（dp/p）＝－∫（3/x）dx，ln|p|＝－3ln|x|＋ln|c|，p＝c1x－3，即y′＝c1/x3。故y＝－c1/（2x2）＋c2，此即为原微分方程的通解。

  • 第10题：

    单选题
    微分方程xy″＋3y′＝0的通解为（　　）。
    A

    y＝－c1/（2x）＋c2

    B

    y＝－c1/（4x2）＋c2

    C

    y＝－2c1x2＋c2

    D

    y＝－c1/（2x2）＋c2


    正确答案： D
    解析：
    原微分方程为xy″＋3y′＝0，令y′＝p，则y″＝p′，则原方程变形为xp′＝－3p，即dp/dx＝－3p/x，分离变量并两边积分得∫（dp/p）＝－∫（3/x）dx，ln|p|＝－3ln|x|＋ln|c|，p＝c1x－3，即y′＝c1/x3。故y＝－c1/（2x2）＋c2，此即为原微分方程的通解。

  • 第11题：

    填空题
    微分方程y′＝y（1－x）/x的通解是____。

    正确答案： y=Cxe-x
    解析：
    原微分方程y′＝y（1－x）/x。分离变量得dy/y＝（1/x－1）dx。两边分别积分得ln|y|＝ln|x|－x＋lnC1，即y＝Cxe－x。

  • 第12题：

    单选题
    已知y1＝x为微分方程x2y″－2xy′＋2y＝0之一解，则此方程的通解为（　　）。
    A

    y＝c1x

    B

    y＝c1x2

    C

    y＝c1x＋c2x3

    D

    y＝c1x＋c2x2


    正确答案： C
    解析：
    设与y2是与y1线性无关的一个特解，则y2′＝u＋xu′，y2″＝2u′＋xu″，其代入x2y″－2xy′＋2y＝0中，得2x2u′＋x3u″－2xu－2x2u′＋2xu＝0，即x3u″＝0。u″＝0，得u＝x，即y2＝x2。故原方程的通解为y＝c1x＋c2x2。

  • 第13题：

    微分方程的通解是=


    答案：
    解析：

  • 第14题：

    微分方程y′+3y=8的通解是（ ）。《》（ ）


    答案：C
    解析：

  • 第15题：

    下列解中是某二阶常微分方程的通解为《》（ ）



    答案：B
    解析：

  • 第16题：

    以.为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为_____


    答案：
    解析：
    所给问题为求解微分方程的反问题．常见的求解方法有两种：解法1先由通解写出二阶线性常系数齐次微分方程的特解，再由此写出方程的特征根r1，
    r2，第三步写出特征方程(r-r1)(r-r2)=0，再依此写出相应的微分方程；
    解法2由所给方程的通解，利用微分法消去任意常数，得出微分方程．这里只利用解法1求解．由于二阶线性常系数齐次微分方程的通解为，由其解的结构定理可知方程有两个特解：，从而知道特征方程的二重根r=1．

  • 第17题：

    求微分方程y″+3y′=3x的通解．


    答案：
    解析：

  • 第18题：

    微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解。


    正确答案:正确

  • 第19题：

    问答题
    求x3y‴＋x2y″－4xy′＝3x2的通解。

    正确答案：
    该微分方程为欧拉方程,令x=et,则xy′=dy/dt,x2y″=d2y/dt2-dy/dt,x3y‴=d3y/dt3-3d2y/dt2+2dy/dt。代入原微分方程,得d3y/dt3-2d2y/dt2-3dy/dt=3e2t,该微分方程对应的齐次方程的特征方程为λ3-2λ2-3λ=0,解得特征根为λ=0,-1,3。故对应齐次方程的通解为y0(t)=C1+C2e-t+C3e3t。
    设非齐次微分方程的特解为Ae2t,将它代入微分方程,得到8Ae2t-8Ae2t-6Ae2t=3e2t,解得A=-1/2。
    故微分方程的通解为y(t)=C1+C2e-t+C3e3t-e2t/2,故原方程的通解为y(x)=C1+C2/x+C3x3-x2/2。
    解析： 暂无解析

  • 第20题：

    填空题
    微分方程cosydy/dx－siny＝ex的通解为____。

    正确答案： siny=(x+c)ex
    解析：
    原微分方程为cosydy/dx－siny＝ex，令u＝siny，则有du/dx＝cosydy/dx，故原方程可变形为u′－u＝ex。则u＝e∫dx[∫ex·e－∫dxdx＋c]＝（x＋c）ex。故方程的通解为siny＝（x＋c）ex。

  • 第21题：

    单选题
    微分方程xy″＋3y′＝0的通解为（　　）。
    A

    y＝－c1/（x）＋c2

    B

    y＝－c1/（x2）＋c2

    C

    y＝－c1/（2x）＋c2

    D

    y＝－c1/（2x2）＋c2


    正确答案： A
    解析：
    原微分方程为xy″＋3y′＝0，令y′＝p，则y″＝p′，则原方程变形为xp′＝－3p，即dp/dx＝－3p/x，分离变量并两边积分得∫（dp/p）＝－∫（3/x）dx，ln|p|＝－3ln|x|＋ln|c|，p＝c1x－3，即y′＝c1/x3。故y＝－c1/（2x2）＋c2，此即为原微分方程的通解。

  • 第22题：

    填空题
    已知y1＝x为微分方程x2y″－2xy′＋2y＝0之一解，则此方程的通解为____。

    正确答案： y=c1x+c2x2
    解析：
    设与y2是与y1线性无关的一个特解，则y2′＝u＋xu′，y2″＝2u′＋xu″，其代入x2y″－2xy′＋2y＝0中，得2x2u′＋x3u″－2xu－2x2u′＋2xu＝0，即x3u″＝0。u″＝0，得u＝x，即y2＝x2。故原方程的通解为y＝c1x＋c2x2。

  • 第23题：

    单选题
    已知y1＝x为微分方程x2y″－2xy′＋2y＝0之一解，则此方程的通解为（　　）。
    A

    y＝c1x＋c2

    B

    y＝c1x3＋c2x

    C

    y＝c1x3＋c2x2

    D

    y＝c1x＋c2x2


    正确答案： D
    解析：
    设与y2是与y1线性无关的一个特解，则y2′＝u＋xu′，y2″＝2u′＋xu″，其代入x2y″－2xy′＋2y＝0中，得2x2u′＋x3u″－2xu－2x2u′＋2xu＝0，即x3u″＝0。u″＝0，得u＝x，即y2＝x2。故原方程的通解为y＝c1x＋c2x2。

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