单选题已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX＝0，则有（ ）。A ｜A｜＞0B ｜A｜＝0C ｜A｜＜0D 以上三种都有可能
题目
单选题
已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX＝0，则有（ ）。
A
｜A｜＞0
B
｜A｜＝0
C
｜A｜＜0
D
以上三种都有可能
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第1题：
设A为n阶矩阵,且｜A｜=0,则A().A.必有一列元素全为零
B.必有两行元素对应成比例
C.必有一列是其余列向量的线性组合
D.任一列都是其余列向量的线性组合答案：C解析：因为|A|=0，所以r(A)小于n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C). -
第2题：
设A为n阶矩阵,且｜A｜=0,
≠0,则AX=0的通解为_______.答案：解析：
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第3题：
设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵
.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.
答案：解析：
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第4题：
设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为_______.答案：解析：
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第5题：
设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.答案：解析：
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第6题：
设A是n阶方阵，n≥3．已知|A|=0，则下列命题正确的是（）．
- A、A中某一行元素全为0
- B、A的第n行是前n-1行（作为行向量）的线性组合
- C、A中有两列对应元素成比例
- D、A中某一列是其余n-1列（作为列向量）的线性组合
正确答案:D -
第7题：
填空题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝____。正确答案： -1解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第8题：
单选题设A是n阶矩阵，若|A|＝0，则（ ）成立。AA的任一列向量是其余列向量的线性组合
B必有一列向量是其余向量的线性组合
C必有两列元素对应成比例
D必有一列元素全为0
正确答案： A解析：
由|A|＝0，知矩阵A的列向量线性相关，故至少有一列向量是其余列向量的线性组合。 -
第9题：
单选题已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX＝0，则有（ ）。A｜A｜＞0
B｜A｜＝0
C｜A｜＜0
D以上三种都有可能
正确答案： D解析：
由于对任一n维列向量X均有XTAX＝0，两边转置，有XTATX＝0，从而XT（A＋AT）X＝0。显然有（A＋AT）T＝A＋AT，即A＋AT为对称矩阵。从而对任一n维列向量X均有：XT（A＋AT）X＝0，A＋AT为实对称矩阵，从而有A＋AT＝0。即AT＝－A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故｜A｜＝0。 -
第10题：
单选题设A是n阶方阵，n≥3．已知|A|=0，则下列命题正确的是（）．AA中某一行元素全为0
BA的第n行是前n-1行（作为行向量）的线性组合
CA中有两列对应元素成比例
DA中某一列是其余n-1列（作为列向量）的线性组合
正确答案： A解析： 暂无解析 -
第11题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A4
B2
C－1
D1
正确答案： B解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第12题：
问答题设A为n阶方阵，若对任意n维向量X=（x1，x2，…，xn）T都有AX=0.证明：A=0.正确答案：
证明:由对任意n维向量X都有AX=0,知对基本单位向量组ε1,ε2,…,εn,Aεi=0(i=1,2,…,n)成立.
所以有A(ε1,ε2,…,εn)=0,即AE=0,故A=0.解析： 暂无解析 -
第13题：
设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.答案：解析：
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第14题：
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，答案：解析：
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第15题：
设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,答案：解析：
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第16题：
设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明：向量β为零向量.答案：解析：
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第17题：
设A为n阶方阵，且|A|=a≠0，则|A*|等于（）。
- A、a
- B、an-1
- C、an
正确答案:C -
第18题：
设A是n阶方阵，α是n维列向量，下列运算无意义的是（）．
- A、αTAα
- B、ααT
- C、αA
- D、Aα
正确答案:C -
第19题：
单选题设n维行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩阵A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于（ ）。AO
B－E
CE
DE＋αTα
正确答案： D解析：
注意利用ααT＝1/2来简化计算。AB＝（E－αTα）（E＋2αTα）＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα＝E＋αTα－2αT（ααT）α＝E＋αTα－2·（1/2）αTα＝E。 -
第20题：
单选题设A是n阶方阵，α是n维列向量，下列运算无意义的是（）．AαTAα
BααT
CαA
DAα
正确答案： B解析： （A）有意义，它是1×n阵、n×n阵、n×1阵依次相乘，乘得的结果是1×1阵，即是一个数．（B）有意义，它是n×1阵与1×n阵相乘，乘得的结果是n阶方阵．（D）有意义，它是n×n与n×1阵相乘，乘得的结果是列向量．（C）无意义，因为n×1阵与n×n阵不能相乘，故选（C）. -
第21题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A－2
B－1
C0
D1
正确答案： A解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第22题：
单选题设A是n阶矩阵，若|A|=0，则（ ）成立.AA的任一列向量是其余列向量的线性组合
B必有一列向量是其余向量的线性组合
C必有两列元素对应成比例
D必有一列元素全为O
正确答案： D解析：
由|A|=0，知矩阵A的列向量线性相关，故至少有一列向量是其余列向量的线性组合． -
第23题：
问答题设A为n阶方阵，若对任意n维向量x(→)＝（x1，x2，…，xn）T都有Ax(→)＝0。证明：A＝0。正确答案：
由对任意n维向量x都有Ax=0,知对基本单位向量组ε1,ε2,…,εn,Aεi=0(i=1,2,…,n)成立。
所以有A(ε1,ε2,…,εn)=0,即AE=0,故A=0。解析： 暂无解析 -
第24题：
单选题设A为n阶方阵，且|A|=a≠0，则|A*|等于（）。Aa
Ban-1
Can
正确答案： A解析： 暂无解析