设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，
题目
设f(x)在闭区间[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f(0)=0，
相似考题
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第1题：
设函数f（x）在点x=a处可导，则函数｜f（x）｜在点x=a处不可导的充分条件是（ ）A.f（a）=0且f′（a）=0
B.f（a）=0且f′（a）≠0
C.f（a）＞0且f′（a）＞
D.f（a）＜0且f′（a）＜答案：B解析：
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第2题：
设f(x)二阶可导，f(0)= f(1),且f(x)在[0,1]上的最小值为—1.证明：
答案：解析：
-
第3题：
设函数f(x)在区间［0，1］上具有2阶导数，且
，证明：
(Ⅰ)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程
在区间(0，1)内至少存在两个不同实根.答案：解析：
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第4题：
设f(x)在[a,b]上可导，且f(a)f(b)小于0，
答案：解析：由f(a)f(b)小于0，知f(x)在[a，b]上至少有一个零点.
故f(x)在[a，b]上零点的个数为1. -
第5题：
设在f（x）上连续，在[0，1]内可导，且f（0）=f（1），则：在（0，1）内曲线y=f（x）的所有切线中《》（ ）A.至少有一条平行于x轴
B.至少有一条平行于y轴
C.没有一条平行于x轴
D.可能有一条平行于y轴答案：A解析： -
第6题：
设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（ ）A.单调减少
B.单调增加
C.为常量
D.不为常量，也不单调答案：B解析：由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B． -
第7题：
已知函数f(x)在区间(0，1)内可导，则以下结论正确的是( )。
答案：C解析：
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第8题：
问答题设f（x）在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件|f（x）|≤a，|f″（x）|≤b（其中a、b都是非负常数），c是（0，1）内任一点。 （1）写出f（x）在点x＝c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式； （2）证明：|f′（c）|＜2a＋b/2。正确答案：
(1)f(x)在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f″(ξ)(x-c)2/(2!),其中ξ介于x和c之间。
(2)证明:在(1)中所得结论中,令x=0得
f(0)=f(c)+f′(c)(-c)+f″(ξ1)c2/(2!)①
令x=1得
f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f″(ξ2)(1-c)2/(2!)②
②-①得f(1)-f(0)=f′(c)+[(1-c)2f″(ξ2)-c2f″(ξ1)]/2,则
,f′(c),=,f(1)-f(0)-[(1-c)2f″(ξ2)-c2f″(ξ1)]/2,≤,f(1),+,f(0),+,f″(ξ2),(1-c)2/2+c2,f″(ξ1),/2≤a+a+b[(1-c)2+c2]/2
又0解析： 暂无解析 -
第9题：
问答题设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）·f（b）＞0，f（a）·f[（a＋b）/2]＜0。试证：对任意实数k，∃ξ∈（a，b），使得f′（ξ）＝kf（ξ）。正确答案：
令F(x)=e-kxf(x)(a≤x≤b),则F(a)F(b)>0,F(a)F[(a+b)/2]<0,由介值定理得∃ξ1ξ2:a<ξ1<(a+b)/2<ξ2
由罗尔定理得∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),使得F′(ξ)=0,即e-kξ[f′(ξ)-kf(ξ)]=0。故f′(ξ)=kf(ξ)。解析： 暂无解析 -
第10题：
问答题设f′（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且f（a）f（b）＞0，f（a）f[（a＋b）/2]＜0，试证至少存在一个点ξ∈（a，b）使f′（ξ）＝f（ξ）。正确答案：
构造函数F(x)=e-xf(x)。
不妨设f(a)>0,则f(b)>0,f[(a+b)/2]<0。故F(a)=e-af(a)>0,F[(b+a)/2]=e-(b+a)/2f[(b+a)/2]<0,F(b)=e-bf(b)>0。
又F(x)在[a,(b+a)/2]和[(b+a)/2,b]上连续,则必∃c1∈(a,(b+a)/2),c2∈((b+a)/2,b),使F(c1)=F(c2)=0。
F(x)在[c1,c2]上满足罗尔定理的条件,故∃ξ∈(c1,c2)⊂(a,b),使F′(ξ)=e-ξ[f′(ξ)-f(ξ)]=0,即f′(ξ)=f(ξ),(e-ξ>0)。解析： 暂无解析 -
第11题：
单选题若f（x）在区间[a，＋∞）上二阶可导，且f（a）＝A＞0，f′（a）＜0，f″（x）＜0（x＞a），则方程f（x）＝0在（a，＋∞）内（ ）。A没有实根
B有两个实根
C有无穷多个实根
D有且仅有一个实根
正确答案： C解析：
由f″（x）＜0（x＞a）知f′（x）单调减少，又f′（a）＜0，则f′（x）在区间（a，＋∞）上恒小于0，即f（x）在区间（a，＋∞）上单调减少，又由f（a）＝A＞0，且f（x）在区间[a，＋∞）上二阶可导，故方程f（x）＝0在（a，＋∞）内有且仅有一个实根。 -
第12题：
问答题设f（x）在闭区间[0，c]上连续，其导数f′（x）在开区间（0，c）内存在且单调减少，f（0）＝0，试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f（a＋b）≤f（a）＋f（b），其中a，b满足条件0≤a≤b≤a＋b≤c。正确答案：
f(a+b)-f(a)-f(b)=[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]。
因为f(x)在区间(0,a),(b,a+b)上满足拉格朗日中值定理,因此分别存在ξ∈(0,a),η∈(b,a+b),使得f(a)-f(0)=af′(ξ),f(a+b)-f(b)=af′(η),从而有f(a+b)-f(a)-f(b)=a[f′(η)-f′(ξ)]。
又f′(x)在(0,c)上单调减少,故f′(η)≤f′(ξ),故f(a+b)-f(a)-f(b)≤0,即f(a+b)≤f(a)+f(b)。解析： 暂无解析 -
第13题：
A.F（x）在x=0点不连续
B.F（x）在（-∞，+∞）内连续，在x=0点不可导
C.F（x）在（-∞，+∞）内可导，且满足F′（x）=f（x）
D.F（x）在（-∞，+∞）内可导，但不一定满足F′（x）=f（x）答案：B解析：
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第14题：
设奇函数f(x)在［-1，1］上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；
(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1.答案：解析：【证明】(Ⅰ)因为f(x)是区间［-1，1］上的奇函数，所以f(0)=0.
因为函数f(x)在区间［0，1］上可导，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得
f(1)-f(0)=f'(ξ).
又因为f(1)=1，所以f'(ξ)=1.
(Ⅱ)【证明】(方法一)因为f(x)是奇函数，所以f'(x)是偶函数，故f'(-ξ)=f'(ξ)=1.
令F(x)=［f'(x)-1］e^x，则F(x)可导，且F(-ξ)=F(ξ)=0.
根据罗尔定理，存在
使得F'(η)=0.
由
(方法二)因为f(x)是［-1，1］上的奇函数，所以f'(x)是偶函数，
令F(x)=f'(x)+f(x)-x，则F(x)在［-1，1］上可导，且
F(1)=f'(1)+f(1)-1=f'(1)
F(-1)=f'(-1)+f(-1)+1=f'(1)-f(1)+1=f'(1)
由罗尔定理可知，存在η∈(-1，1)，使得F'(η)=0.
由F'(x)=f(x)+f'(x)-1，知
f(η)+f'(η)-1=0，f(η)+f'(η)=1.
(方法三)因为f(x)是［-1，1］上的奇函数，所以f'(x)是偶函数，f(x)是奇函数，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1.
令F(x)=f'(x)+f(x)-x，则F'(x)=f(x)+f'(x)-1，
F'(ξ)=f(ξ)+f'(ξ)-1=f(ξ)
F'(-ξ)=f(-ξ)+f'(-ξ)-1=-f(ξ)
当f(ξ)=0时，f(ξ)+f'(ξ)-1=0，即f(ξ)+f'(ξ)=1.结论得证.
当f(ξ)≠0时，F'(ξ)F'(-ξ)=-［f(ξ)］^2<0，
根据导函数的介值性，存在
，使得F'(η)=0.即f(η)+f'(η)-1=0
故f(η)+f'(η)=1.
【评注】本题是一道微分中值定理的证明题，其难点在于(Ⅱ)中辅助函数的构造.欲证f(η)+f'(η)=1，只要证f(η)+(f'(η)-1)=0，即
，因此，应考虑辅助函数F(x)=［f'(x)-1]e^x；另一种思路是欲证f(η)+f'(η)=1，只要证f(η)+f'(η)-1=0，因此，应考虑辅助函数F(x)=f'(x)+f(x)-x.
方法三中用到达布定理即(导函数的的介值性)，这个定理不是<考试大纲》要求的考试内容，部分考生给出了此种解法，只要书写正确，不影响得分. -
第15题：
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且
=A，则
存在，且.
答案：解析：
-
第16题：
A. f(x)在[0,1]上至少有两个零点
B.f'(x)在[0,1]上至少有一个零点
C.f''(x)在[0,1]上至少有一个零点
D.f'(x)在[0,1]内不变号答案：D解析：
-
第17题：
若函数f(x)在[0，1]上黎曼可积，则f(x)在[0，1]上（ ）。A.连续
B.单调
C.可导
D.有界答案：D解析：
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第18题：
已知函数
(1)求f(x)单调区间与值域；
(2)设a≥1，函数g(x)=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]。若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]使g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围。
答案：解析：
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第19题：
问答题设函数f（x）在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（0，1）内，且f′（x）≠1，证明在（0，1）内有且仅有一个x，使得f（x）＝x。正确答案：
首先证明存在性。
作辅助函数F(x)=f(x)-x,由题设0
根据连续函数介值定理,在(0,1)上至少存在一点ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0。即f(ξ)-ξ=0。
用反证法证明唯一性。
设0
根据罗尔定理知,存在x0∈(x1,x2)⊂(0,1)使得F′(x0)=0,即f′(x0)=1,这与题目中f′(x)≠1相矛盾,故在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x。解析： 暂无解析 -
第20题：
问答题设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）＝f（b）。证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0。正确答案：
因为f(x)不恒为常数,且f(a)=f(b),故必存在一点c∈(a,b),满足f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)=f(b),f(x)在[a,c]上满足拉格朗日中值定理,故至少存在一点ξ∈(a,c)⊂(a,b),使得f′(ξ)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0。
若f(c)解析： 暂无解析 -
第21题：
问答题设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）＝f（1）＝0，证明：必∃ξ∈（0，1）使ξ2f″（ξ）＋4ξf′（ξ）＋2f（ξ）＝0。正确答案：
构造函数F(x)=x2f(x),由于f(x)在[0,1]上二阶可导,则F(x)也在[0,1]上二阶可导。
又F′(0)=[2xf(x)+x2f′(x)]x=0=0,F″(x)=2f(x)+4xf′(x)+x2f″(x)。
故根据泰勒公式有F(1)=F(0)+F′(0)(1-0)+F″(ξ)(1-0)2/(2!)=0,其中ξ∈(0,1)。
所以F″(ξ)/2=[2f(ξ)+4ξf′(ξ)+ξ2f″(ξ)]/2=0。
即2f(ξ)+4ξf′(ξ)+ξ2f″(ξ)=0。解析： 暂无解析 -
第22题：
问答题设f（x）在[0，π]上连续，在（0，π）内可导，证明：必∃ξ∈（0，π），使f′（ξ）＋3f（ξ）cotξ＝0。正确答案：
构造函数φ(x)=sin3x·f(x),则由于f(x)在[0,π]上连续,故φ(x)也在[0,π]上连续。
且φ′(x)=sin3x·f′(x)+3sin2xcosx·f(x)在(0,π)有意义。
又φ(0)=φ(π)=0,根据罗尔定理得,必∃ξ∈(0,π),使φ′(ξ)=sin3ξ·f′(ξ)+3sin2ξcosξ·f(ξ)=0,即sin3ξ[f′(ξ)+3f(ξ)cotξ]=0。
而(0,π)上sinξ≠0。故f′(ξ)+3f(ξ)cotξ=0。解析： 暂无解析 -
第23题：
问答题设f（x）在[a，＋∞）上连续，在（a，＋∞）内可导，且f′（x）＞k＞0（k为常数），又f（a）＜0，证明方程f（x）＝0在（a，a－f（a）/k）内有唯一实根。正确答案：
由题设条件f(a)<0,k>0可得a-f(a)/k>a。
令b=a-f(a)/k,根据拉格朗日中值定理得
f(b)=f(a)+f′(ξ)(b-a)=f(a)+f′(ξ)[-f(a)/k]=-f(a)[f′(ξ)/k-1]>0,(a<ξ
由零点定理得f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根。又f′(x)>0,即f(x)单调增加。故f(x)=0在(a,b)内仅有一个实根。解析： 暂无解析