【单选题】n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的（）。A．充分必要条件B．必要而非充分条件C．充分而非必要条件D．既非充分也非必要条件

题目

【单选题】n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的（）。

A．充分必要条件

B．必要而非充分条件

C．充分而非必要条件

D．既非充分也非必要条件

相似考题

1.可对角化的矩阵是____。A.实对称阵B.有n个相异特征值的n阶阵C.有n个线性无关的特征向量的n阶方阵

2.n阶单位矩阵的特征值都是1。()此题为判断题(对，错)。

3.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.

4.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的()。A、充分必要条件;B、必要而非充分条件;C、充分而非必要条件;D、既非充分也非必要条件

参考答案和解析
相似
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  • 第1题：

    设A为n阶对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是( ).

    A.二次型xTAx的负惯性指数零

    B.存在n阶矩阵C,使得A=CTC

    C.A没有负特征值

    D.A与单位矩阵合同


    参考答案：

  • 第2题：

    A,B为n阶矩阵,cond(AB)<=cond(A)cond(B)。()

    A,B为n阶矩阵,cond(AB)<=cond(A)cond(B)。()


    参考答案：正确

  • 第3题：

    设A,B为N阶矩阵,且A,B的特征值相同,则().

    A.A,B相似于同一个对角矩阵
    B.存在正交阵Q,使得Q^TAQ=B
    C.r(A)=r(B)
    D.以上都不对

    答案：D
    解析：

  • 第4题：

    设A是一个n阶矩阵，那么是对称矩阵的是（ ）.



    答案：A
    解析：

  • 第5题：

    设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().

    A.A的n个特征值都是单值
    B.A是可逆矩阵
    C.A存在n个线性无关的特征向量
    D.A一定为n阶实对称矩阵

    答案：C
    解析：
    矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C).

  • 第6题：

    设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().

    A.可逆矩阵
    B.实对称矩阵
    C.正定矩阵
    D.正交矩阵

    答案：B
    解析：

  • 第7题：

    设A为n阶实对称矩阵,下列结论不正确的是().

    A.矩阵A与单位矩阵E合同
    B.矩阵A的特征值都是实数
    C.存在可逆矩阵P,使P^-1AP为对角阵
    D.存在正交阵Q,使Q^TAQ为对角阵

    答案：A
    解析：
    根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A).

  • 第8题：

    设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.


    答案：
    解析：
    【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
    |bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
    同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
    所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
    (1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
    (2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
    (3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
    方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
    方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
    因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.

  • 第9题：

    设n阶矩阵A 满足，其中s≠t，证明A可对角化


    答案：
    解析：

  • 第10题：

    若一个n阶矩阵A中的元素满足：Aij=Aji（0<=I，j<=n-1）则称A为（）矩阵；若主对角线上方（或下方）的所有元素均为零时，称该矩阵为（）。


    正确答案:上；三角矩阵

  • 第11题：

    单选题
    n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是（）。
    A

    所有k级子式为正（k=1，2，…，n）

    B

    A的所有特征值非负

    C

    秩（A）=n


    正确答案： A
    解析： 暂无解析

  • 第12题：

    单选题
    设n阶矩阵A可逆，α是A的属于特征值λ的特征向量，则下列结论中不正确的是（）。
    A

    α是矩阵-2A的属于特征值-2λ的特征向量

    B

    α是矩阵的属于特征值的特征向量

    C

    α是矩阵A*的属于特征值的特征向量

    D

    α是矩阵AT的属于特征值λ的特征向量


    正确答案： B
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    设A是n阶实对称矩阵，则A有n个()特征值.


    参考答案：实

  • 第14题：

    节点导纳矩阵的特点有()。

    A、是n×n阶方阵

    B、是稀疏矩阵

    C、一般是对称矩阵

    D、其对角元一般小于非对角元


    正确答案：ABC

  • 第15题：

    N阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是().



    A.A无负特征值
    B.A是满秩矩阵
    C.A的每个特征值都是单值
    D.A^-1是正定矩阵

    答案：D
    解析：
    A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件，选(D).

  • 第16题：

    与n阶单位矩阵E相似的矩阵是

    A.
    B.对角矩阵D（主对角元素不为1）
    C.单位矩阵E
    D.任意n阶矩阵A


    答案：C
    解析：

  • 第17题：

    n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是( )。

    A.所有k级子式为正(k=1，2，…，n)
    B.A的所有特征值非负
    C.
    D.秩(A)=n

    答案：A
    解析：

  • 第18题：

    设A是n阶矩阵，且Ak=O(k为正整数)，则( )。

    A.A一定是零矩阵
    B.A有不为0的特征值
    C.A的特征值全为0
    D.A有n个线性无关的特征向量

    答案：C
    解析：

  • 第19题：

    已知n阶可逆矩阵A的特征值为λ0，则矩阵(2A)-1的特征值是：


    答案：C
    解析：

  • 第20题：

    设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.


    答案：
    解析：

  • 第21题：

    设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.


    答案：
    解析：

  • 第22题：

    n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是（）。

    • A、所有k级子式为正（k=1，2，…，n）
    • B、A的所有特征值非负
    • C、秩（A）=n

    正确答案:A

  • 第23题：

    问答题
    试证若n阶矩阵A满足A2－A＝2E，则A一定相似于对角矩阵。

    正确答案：
    设λ是矩阵A的特征值,则矩阵f(A)=A2-A-2E的特征多项式为f(λ)=λ2-λ-2,所以有矩阵A的特征值只可能是2或-1。
    ①当λ=-1是A的特征值,而λ=2不是A的特征值,则有,A-2E,≠0,即(A-2E)可逆。由A2-A-2E=0得(A-2E)(A+E)=0,所以有(A-2E)-1(A-2E)(A+E)=(A-2E)-1·0,即A+E=0,A=-E。因此A相似与对角矩阵-E。
    ②当λ=2是A的特征值,而λ=-1不是A的特征值,同理于①,可得矩阵A相似与对角矩阵2E。
    ③当λ=2和λ=-1都是A的特征值,由(A-2E)(A+E)=0知r(A-2E)+r(A+E)≤n。又r(A-2E)+r(A+E)=r(2E-A)+r(A+E)≥r(2E-A+A+E)=r(3E)=n,所以r(A-2E)+r(A+E)=n,即[n-r(A-2E)]+[n-r(A+E)]=n。故两方程组(A-2E)X(→)=0(→)和(A+E)X(→)=0(→)的基础解系所含解向量的个数之和为n,所以A有n个线性无关的特征向量,故其可相似于对角矩阵。
    解析： 暂无解析

  • 第24题：

    填空题
    若一个n阶矩阵A中的元素满足：Aij=Aji（0<=I，j<=n-1）则称A为（）矩阵；若主对角线上方（或下方）的所有元素均为零时，称该矩阵为（）。

    正确答案： 上,三角矩阵
    解析： 暂无解析

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