设n阶方阵M的秩r(M)=rA.任意一个行向量均可由其他r个行向量线性表示 B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组 C.任意r个行向量均线性无关 D.必有r个行向量线性无关

题目

设n阶方阵M的秩r(M)=r

A.任意一个行向量均可由其他r个行向量线性表示
B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组
C.任意r个行向量均线性无关
D.必有r个行向量线性无关

相似考题

1.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则()A、A=0B、A=EC、r(A)=nD、0r(A)(n)

2.设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则

3.设Am×n，Bn×m（m≠n），则下列运算结果不为n阶方阵的是: A.BA B.AB C.（BA）T D.ATBT

4.设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m B.r=m C.rD.r≥m

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第1题：

设A是m×s阶矩阵,B为s×n阶矩阵,则方程组BX=O与ABX=O同解的充分条件是().

A.r(A)=s
B.r(A)=m
C.r(B)=s
D.r(B)=n

答案：A
解析：
设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0，因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选(A).
第2题：

下列结论中正确的是（　　）。

A、矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵

中存在等于0的1阶子式。
第3题：

设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,

答案：
解析：
第4题：

设A为m×n阶实矩阵,且r(A)=n.证明：A^TA的特征值全大于零.

答案：
解析：
第5题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则

A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n

答案：A
解析：
本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)
第6题：

设A是m×n矩阵，秩（A）=r＜min（m，n），则A中必（）

A.至少有-r阶子式不为零，没有不等于0的r+1阶子式
B.有等于0的r阶子式，所有r+l阶子式全为0
C.有等于0的r阶子式，没有不等于0的r+1阶子式
D.有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r阶子式

答案：A
解析：
由矩阵A的秩（A）=r＜min（m，n），知所有r+1阶子式全为0，r阶子式至少有一个不为0.
第7题：

设A、B分别为n×m，n×l矩阵，C为以A、B为子块的n×（m+l）矩阵，即C=（A，B），则（）.《》（）

A.秩（C）=秩（A）
B.秩（C）=秩（B）
C.秩（C）与秩（A）或秩（C）与秩（B）不一定相等
D.若秩（A）=秩（B）=r，则秩（C）=r

答案：C
解析：
第8题：

单选题
设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。
A
n－1
B
n
C
n＋1
D
n＋2

正确答案： A
解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。
第9题：

单选题
设3阶方阵A的秩R（A）=1，则A的伴随矩阵的秩R（）等于（）．
A
3
B
2
C
1
D
0

正确答案： B
解析：暂无解析
第10题：

单选题
设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝（　　）。
A
0
B
1
C
n－1
D
n

正确答案： C
解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。
第11题：

单选题
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
A
r＞r₁
B
r＜r_l
C
r＝r_l
D
r与r₁的关系依C而定

正确答案： A
解析：
由r₁＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC^－¹，故r＝r（BC^－¹）≤min[r（B），r（C^－¹）]＝r（B）＝r₁，所以有r＝r₁。
第12题：

单选题
下列结论中正确的是（）
A
矩阵A的行秩与列秩可以不等
B
秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C
若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D
秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

正确答案： D
解析：
第13题：

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）

A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n

答案：A
解析：
第14题：

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，

答案：
解析：
第15题：

设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,

答案：
解析：
第16题：

设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r

答案：
解析：
第17题：

设A是5×6矩阵，则（）正确。
A.若A中所有5阶子式均为0,则秩R(A)=4
B.若秩R(A)=4,则A中5阶子式均为0
C.若秩R(A)=4，则A中4阶子式均不为0
D.若A中存在不为0的4阶子式，则秩R(A)=4

答案：B
解析：
提示：利用矩阵秩的定义。
第18题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）.《》（）

A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n

答案：A
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m.
第19题：

设3阶方阵A的秩R（A）=1，则A的伴随矩阵的秩R（）等于（）．
- A、3
- B、2
- C、1
- D、0
正确答案:D
第20题：

单选题
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（　　）。
A
r（A）＝m，r（B）＝m
B
r（A）＝m，r（B）＝n
C
r（A）＝n，r（B）＝m
D
r（A）＝n，r（B）＝n

正确答案： C
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。
第21题：

单选题
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
A
r＞r₁
B
r＜r₁
C
r＝r₁
D
r与r₁的关系依C而定

正确答案： A
解析：
由r₁＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC^－¹，故r＝r（BC^－¹）≤min[r（B），r（C^－¹）]＝r（B）＝r₁，所以有r＝r₁。
第22题：

填空题
设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB=0，则A=____.

正确答案： 0
解析：
取基本单位向量组为ε₁，ε₂，…ε_n
当m=n时，由对任意B都有AB=0，则对B=（ε₁，ε₂，…ε_n）=E_n也成立，即AE=0，故A=0．
当m>n时，取B=（ε₁，ε₂，…ε_n，B₁）=（E_n，B₁），则由AB=A（E_n，B₁）=0，知AE_n=0，故A=0．
第23题：

填空题
设A、B都是满秩的n阶方阵，则r（AB）＝____。

正确答案： n
解析：
由行列式，|AB|＝|A|·|B|且A、B均为满秩的n阶矩阵，则有|AB|≠0，即矩阵AB满秩，故r（AB）＝n。

设n阶方阵M的秩r(M)=rA.任意一个行向量均可由其他r个行向量线性表示 B.任意r个行向量均可组成极大线性无关组 C.任意r个行向量均线性无关 D.必有r个行向量线性无关

题目

相似考题

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