如果非齐次线性方程组Ax=b有解，则它有唯一解的充要条件是它的导出组Ax=0仅有零解
题目
如果非齐次线性方程组Ax=b有解，则它有唯一解的充要条件是它的导出组Ax=0仅有零解
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第1题：
非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A.r=m时，方程组A-6有解.
B.r=n时，方程组Ax=b有唯一解.
C.m=n时，方程组Ax=b有唯一解.
D.r答案：A解析：因为A是m×n矩阵，若秩r(A)=m，则m=r(A)≤r(A，b)≤m.于是r(A)=r(A，b).故方程组有解，即应选(A).或，由r(A)=m，知A的行向量组线性无关，那么其延伸必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个行向量也是线性无关的，亦知r(A)=r(A，b).关于(B)、(D)不正确的原因是：由r(A)=n不能推导出r(A，b)=n(注意A是m×n矩阵，m可能大于n)，由r(A)=r亦不能推导出r(A，b)=r，你能否各举一个简单的例子？至于(C)，由克拉默法则，r(A)=n时才有唯一解，而现在的条件是r(A)=r，因此(C)不正确，第2题：
设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是().A.若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=b有唯一解
B.若方程组AX=0有非零解,则方程组AX=b有无穷多个解
C.若方程组AX=b无解,则方程组AX=0一定有非零解
D.若方程组AX=b有无穷多个解,则方程组AX=0一定有非零解答案：D解析：
第3题：
若非齐次线性方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是：A.AX=0仅有零解
B.AX=0必有非零解
C.AX=0 —定无解
D.AX=b必有无穷多解答案：B解析：提示Ax=0必有非零解。
解方程Ax=0时，对系数矩阵进行行的初等变换，必有一非零的r阶子式，而未知数的个数n，n>r，基础解系的向量个数为n-r，所以必有非零解。第4题：
非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ）.A.r=m时，方程组AX=b有解
B.r=n时，方程组AX=b有唯一解
C.m=m时，方程组AX=b有唯一解
D.r＜n时，方程组AX=b有无穷多解答案：A解析：
第5题：
设A是4×6矩阵，则齐次线性方程组AX=0解的情况是（）。
- A、无解
- B、只有零解
- C、有非零解
- D、不一定
正确答案:C第6题：
单选题设A是4×6矩阵，则齐次线性方程组AX=0解的情况是（）。A无解
B只有零解
C有非零解
D不一定
正确答案： A解析： AX=0有非零解的充要条件是R（A）＜6，而4×6矩阵的秩R（A）≤4，故AX=0有非零解，故选（C）。第7题：
单选题设A是m×n矩阵，AX(→)＝0(→)是AX(→)＝b(→)的导出组，则下列结论正确的是（ ）。A若AX＝0仅有零解，则AX＝b有唯一解
B若AX＝0有非零解，则AX＝b有无穷多解
C若AX＝b有无穷多解，则AX＝0仅有零解
D若AX＝b有无穷多解，则AX＝0有非零解
正确答案： A解析：
由方程组AX＝0有解，不能判定AX＝b是否有解；由AX＝b有唯一解，知AX＝0只有零解；由AX＝b由无穷多解，知AX＝0有非零解。第8题：
单选题n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，齐次线性方程组AX=O有两个线性无关的解，则（ ）.AA*X=0的解均是AX=0的解
BAX=0的解均是A*X=O的解
CAX=0与A*X=0无非零公共解
DAX=0与A*X=O仅有2个非零公共解
正确答案： B解析：
由齐次方程组AX=0有两个线性无关的解向量，知方程组AX=0的基础解系所含解向量的个数为n-r（A）≥2，即r（A）≤n-2<n-1．由矩阵A与其伴随矩阵秩的关系，知r（A*）=0，即A*=0．所以任意n维列向量均是方程组A*X=0的解，故方程组AX=0的解均是A*X=0的解．第9题：
单选题若非齐次线性方程组Ax=b中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是（ ）。[2013年真题]AAx=0仅有零解
BAx=0必有非零解
CAx=0一定无解
DAx=b必有无穷多解
正确答案： A解析：
因非齐次线性方程组未知量个数大于方程个数，可知系数矩阵各列向量必线性相关，则对应的齐次线性方程组必有非零解。第10题：
单选题n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，齐次线性方程组AX(→)＝0(→)有两个线性无关的解，则（ ）。AA*X＝0的解均是AX＝0的解
BAX＝0的解均是A*X＝0的解
CAX＝0与A*X＝0无非零公共解
DAX＝0与A*X＝0仅有2个非零公共解
正确答案： A解析：
由齐次方程组AX＝0有两个线性无关的解向量，知方程组AX＝0的基础解系所含解向量的个数为n－r（A）≥2，即r（A）≤n－2＜n－1。由矩阵A与其伴随矩阵秩的关系，知r（A*）＝0，即A*＝0。所以任意n维列向量均是方程组A*X＝0的解，故方程组AX＝0的解均是A*X＝0的解。第11题：
单选题（2013）若非齐次线性方程组AX=b中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是：（）AAX=0仅有零解
BAX=0必有非零解
CAX=0一定无解
DAX=b必有无穷多解
正确答案： B解析： 暂无解析第12题：
设A是m×n阶矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )。A.若Ax=0仅有零解，则Ax=b有惟一解
B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解
C.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解
D.若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解答案：D解析：
第13题：
设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充要条件为（ ）。A.r=n
B.r＜n
C.r≥n
D.r＞n答案：B解析：Ax=0有非零解的充要条件为｜A｜=0，即矩阵A不是满秩的，r＜n。第14题：
若非齐次线性方程组Ax=b中方程个数少于未知量个数，那么（ ）。
A. Ax = b必有无穷多解 B.Ax=0必有非零解C.Ax=0仅有零解 D. Ax= 0一定无解答案：B解析：提示：A的秩小于未知量个数。第15题：
若非齐次线性方程组Ax=b中方程个数少于未知量个数，则下列结论中正确的是（）。
- A、Ax=0仅有零解
- B、Ax=0必有非零解
- C、Ax=0一定无解
- D、Ax=b必有无穷多解
正确答案:B第16题：
单选题设A是m×n阶矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）。A若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解
B若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多个解
C若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解
D若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解
正确答案： D解析：
由解的判定定理知，对Ax＝b，若有r（A）＝r（A）＝r，则Ax＝b一定有解。进一步，若r＝n，则Ax＝b有唯一解；若r＜n，则Ax＝b有无穷多解。而对Ax＝0一定有解，且设r（A）＝r，则若r＝n，Ax＝0仅有零解；若r＜n，Ax＝0有非零解。因此，若Ax＝b有无穷多解，则必有r（A）＝r（A）＝r＜n，Ax＝0有非零解，所以D项成立。但反过来，若r（A）＝r＝n（或＜n），并不能推导出r（A）＝r（A），所以Ax＝b可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解。第17题：
填空题设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|____。正确答案： ≠0解析：
依据齐次线性方程组性质可知，系数行列式|A|≠0时，方程组仅有零解。第18题：
单选题设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|（ ）。A＝0
B≠0
C＝1
D≠1
正确答案： B解析：
依据齐次线性方程组性质可知，系数行列式|A|≠0时，方程组仅有零解。第19题：
单选题设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充要条件是|A|（ ）。A＜0
B≠0
C＞0
D＝0
正确答案： A解析：
依据齐次线性方程组性质可知，系数行列式|A|≠0时，方程组仅有零解。第20题：
单选题n元线性方程组AX(→)＝b(→)有唯一解的充要条件为（ ）。AA为方阵且｜A｜≠0
B导出组AX＝0仅有零解
C秩（A）＝n
D系数矩阵A的列向量组线性无关，且常数向量b与A的列向量组线性相关
正确答案： C解析：
A项，系数矩阵A不一定是方阵；B项，导出组只有零解，方程组AX＝b不一定有解；C项，当r（A）＝n时，不一定有r（A）＝r（A）＝n；D项，b可由A的列向量组线性表示，则方程组AX＝b有唯一解。第21题：
单选题非齐次线性方程组AX(→)＝b(→)中未知数个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ）。Ar＝m时，方程组AX＝b有解
Br＝n时，方程组AX＝b有唯一解
Cm＝n时，方程组AX＝b有唯一解
Dr＜n时，方程组AX＝b有无穷多解
正确答案： A解析：
A项，由于r＝m，则方程组AX＝b的增广矩阵化为阶梯形矩阵时，阶梯形矩阵不为0的行数为m，r（A）＝r（A）＝m，所以AX＝b有解；
B项，当r＝n时，可知n≤m，当n＜m时，则方程组AX＝b不一定只有唯一解；
C项，当m＝n时，r（A）不一定等于r，方程组不一定有解；
D项，当r＜n时，不能保证r（A）＝r（A）＝r，方程组AX＝b不一定有解。第22题：
单选题若非齐次线性方程组Ax=b中方程个数少于未知量个数，则下列结论中正确的是（）。AAx=0仅有零解
BAx=0必有非零解
CAx=0一定无解
DAx=b必有无穷多解
正确答案： A解析： 暂无解析