2、在秩为r的矩阵中，下面结论错误的是（）.A．可能有等于0的r阶子式.B．一定有不等于0的r 阶子式.C．没有等于0的r -1阶子式.D．所有r +1阶子式都等于0.
题目
2、在秩为r的矩阵中，下面结论错误的是（）.
A．可能有等于0的r阶子式.
B．一定有不等于0的r 阶子式.
C．没有等于0的r -1阶子式.
D．所有r +1阶子式都等于0.
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第1题：
非齐次线性方程组Ax=B中未知变量的个数为n，方程的个数为m，系数矩阵A的秩为r，则下列说法正确的是（ ）。
答案：D解析：非齐次方程组解的判定需要验证r（A）是否等于r（A,b），A,B,C都无法判断。D项：r=m时，r（A）=r（A,b）=m，方程组必有解. -
第2题：
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，答案：解析：
-
第3题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则
A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n答案：A解析：本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A) -
第4题：
设α，β为三维列向量，矩阵A=αα^T+ββ^T，其中α^T，β^T分别是α，β的转置.证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则秩r(A)<2.答案：解析：【证明】(Ⅰ)因为α，β为三维列向量，那么αα^T和ββ^T都是三阶矩阵，
且秩r(αα^T)≤1，r(ββ^T)≤1.
那么，r(A)=r(αα^T+ββ^T)≤r(αα^T)+r(ββ^T)≤2.
(Ⅱ)由于α，β线性相关，不妨设α=kβ，于是
r(A)=r(αα^T+ββ^T)=r((1+k^2)ββ^T)≤r(β)≤1<2.
【评注】本题考查矩阵秩的性质公式.
(Ⅰ)中有两个基本知识点：①r(αα^T)≤1和②r(A+B)≤r(A)+r(B).
(Ⅱ)中有两个基本知识点：①α，β线性相关的几何意义和②r(kA)=r(A)，k≠0.
注意，如果分块矩阵比较熟悉，本题的(Ⅰ)也可如下处理：
因为
那么
从而r(A)≤2. -
第5题：
设A是5×6矩阵，则（ ）正确。
A.若A中所有5阶子式均为0,则秩R(A)=4
B.若秩R(A)=4,则A中5阶子式均为0
C.若秩R(A)=4，则A中4阶子式均不为0
D.若A中存在不为0的4阶子式，则秩R(A)=4答案：B解析：提示：利用矩阵秩的定义。 -
第6题：
设A、B分别为n×m，n×l矩阵，C为以A、B为子块的n×（m+l）矩阵，即C=（A，B），则（ ）.《》（ ）A.秩（C）=秩（A）
B.秩（C）=秩（B）
C.秩（C）与秩（A）或秩（C）与秩（B）不一定相等
D.若秩（A）=秩（B）=r，则秩（C）=r答案：C解析：
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第7题：
设3阶方阵A的秩R（A）=1，则A的伴随矩阵的秩R（）等于（）．
- A、3
- B、2
- C、1
- D、0
正确答案:D -
第8题：
单选题设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（ ）。Ar＞r1
Br＜r1
Cr＝r1
Dr与r1的关系依C而定
正确答案： A解析：
由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。 -
第9题：
单选题设A是5×6矩阵，则（）正确。A若A中所有5阶子式均为0，则秩RA.=4
BB.若秩R=4，则A中5阶子式均为0
CC.若秩R=4，则A中4阶子式均不为0
DD.若A中存在不为0的4阶子式，则秩R=4
正确答案： C解析： 暂无解析 -
第10题：
填空题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝____。正确答案： 0解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。 -
第11题：
单选题设向量组（I）α1，α2，…，αs，其秩为r1，向量组（Ⅱ）β1，β2，…，βs，其秩为r2，且βi（i=1，2，…，s）均可以由α1，…，αs线性表示，则（ ）.A向量组α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2
B向量组α1-β1，α2-β2，…，αs-βs秩为rl-r2
C向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为rl+r2
D向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为rl
正确答案： A解析：
向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，则向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs也可由其线性表示，所以α1，α2，…，αs向量组的极大线性无关组也是该向量组的极大线性无关组，故其秩为rl． -
第12题：
单选题下列结论中正确的是（ ）A矩阵A的行秩与列秩可以不等
B秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式
正确答案： D解析： -
第13题：
下列结论中正确的是（ ）。A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式答案：C解析：A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵
中存在等于0的1阶子式。 -
第14题：
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足
，求 ①二次型
的标准形； ②行列式
的值，其中E为单位矩阵答案：解析：
-
第15题：
设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(XY)表示分块矩阵，则
A.Ar(A AB)=r(A)
B.r(A BA)=r(A)
C.r(A B)=max{r(A),r(B)}
D.r(A B)=r(A^T B^T).答案：A解析：
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第16题：
4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵An的秩为（ ）。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3答案：A解析：提示：A所有三阶子式为零，故An是零矩阵。 -
第17题：
A.秩r（A）=1
B.秩r（A）=2
C.秩r（A）=3
D.秩r（A）=4答案：B解析：以三个点为顶点的三角形面积为A绝对值的一半，所以三点共线的必要条件是｜A｜=0，即A的秩小于3，但题中三点各不相同，所以A=2. -
第18题：
设A是5×6矩阵，则（）正确。
- A、若A中所有5阶子式均为0，则秩RA.=4
- B、B.若秩R=4，则A中5阶子式均为0
- C、C.若秩R=4，则A中4阶子式均不为0
- D、D.若A中存在不为0的4阶子式，则秩R=4
正确答案:B -
第19题：
单选题设3阶方阵A的秩R（A）=1，则A的伴随矩阵的秩R（）等于（）．A3
B2
C1
D0
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第20题：
单选题当n阶矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|＝（ ）。A0
B1
C2
D4
正确答案： D解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故|A|＝0。 -
第21题：
单选题设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（ ）。Ar＞r1
Br＜rl
Cr＝rl
Dr与r1的关系依C而定
正确答案： A解析：
由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。 -
第22题：
填空题设α(→)＝（1，0，－1，2）T，β(→)＝（0，1，0，2），矩阵A＝α(→)·β(→)，则秩r（A）＝____。正确答案： 1解析：
秩r（A）＝r（α·β）≤r（α）＝1，又α·β≠0，可见r（A）≥1。故r（A）＝1。 -
第23题：
单选题已知矩阵，则A的秩r（A）等于（）。A0
B1
C2
D3
正确答案： A解析： 暂无解析 -
第24题：
填空题当n矩阵A的秩r（A）＜n时，|A|=____.正确答案： 0解析：
由r（A）＜n，知矩阵A不可逆，故.|A|=0