设Α是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明ΑB可对角化
题目
设Α是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明ΑB可对角化
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参考答案和解析
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第1题：
若A是实对称矩阵，则若|A|＞O，则A为正定的答案：错解析： -
第2题：
若A是实对称矩阵，则A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正答案：对解析： -
第3题：
设A是n阶正定矩阵,证明:｜E+A｜>1.答案：解析：
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第4题：
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，答案：解析：
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第5题：
设3阶矩阵A 满足
，证明A可对角化答案：解析：
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第6题：
设U为可逆矩阵,
, 证明
为正定二次型答案：解析：
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设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,答案：解析：
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第10题：
设A=
,求A的特征值与特征向量,判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求出可逆矩阵P及对角阵.答案：解析：
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第11题：
在变尺度方法中，为了保证搜索方向是函数下降的方向，其变尺度矩阵A（k）必须是（）
- A、正定矩阵
- B、对称正定矩阵
- C、半正定矩阵
- D、共轭矩阵
正确答案:B -
第12题：
单选题在变尺度方法中，为了保证搜索方向是函数下降的方向，其变尺度矩阵A（k）必须是（）A正定矩阵
B对称正定矩阵
C半正定矩阵
D共轭矩阵
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第13题：
设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().A.可逆矩阵
B.实对称矩阵
C.正定矩阵
D.正交矩阵答案：B解析：
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第14题：
设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.答案：解析：【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
|bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
(1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
(2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化. -
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正定答案：解析：
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设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.答案：解析：
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，证明
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第23题：
对于所有非零向量X，若XTMX>0，则二次矩阵M是（）。
- A、三角矩阵
- B、负定矩阵
- C、正定矩阵
- D、非对称矩阵
- E、对称矩阵
正确答案:C,E