N阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是().A.A无负特征值 B.A是满秩矩阵 C.A的每个特征值都是单值 D.A^-1是正定矩阵

题目
N阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是().



A.A无负特征值
B.A是满秩矩阵
C.A的每个特征值都是单值
D.A^-1是正定矩阵
相似考题

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是()。A、|A|0B、存在n阶方阵C使A=CTCC、负惯性指标为零D、各阶顺序主子式均为正数

2.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的()。A、充分必要条件;B、必要而非充分条件;C、充分而非必要条件;D、既非充分也非必要条件

3.设A为n阶对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是( ).A.二次型xTAx的负惯性指数零B.存在n阶矩阵C,使得A=CTCC.A没有负特征值D.A与单位矩阵合同

4.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是()。A、∣A∣0B、存在n阶矩阵P，使得A=PTPC、负惯性指数为0D、各阶顺序主子式均为正数

参考答案和解析
答案：D
解析：
A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件，选(D).
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  • 第1题：

    设A是n阶实对称矩阵，则A有n个()特征值.


    参考答案：实

  • 第2题：

    n阶正交矩阵的乘积是()矩阵。

    A、单位

    B、对称

    C、实

    D、正交


    参考答案：D

  • 第3题：

    n阶矩阵A可逆的充分必要条件是



    答案：D
    解析：

  • 第4题：

    实二次型矩阵A正定的充分必要条件是（ ）。

    A.二次型的标准形的n个系数全为正
    B.|A|＞0
    C.矩阵A的特征值为2
    D.r（A）=n

    答案：A
    解析：

  • 第5题：

    n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是( )。

    A.所有k级子式为正(k=1，2，…，n)
    B.A的所有特征值非负
    C.
    D.秩(A)=n

    答案：A
    解析：

  • 第6题：

    设A为n阶矩阵，则A以零为其特征值是A为奇异矩阵(即 A =0)的:
    A.充分非必要条件
    B.必要非充分条件
    C.既非充分也非必要条件
    D.充分必要条件


    答案：D
    解析：
    提示:可通过下面证明说明。充分性:若矩阵A有特征值0→矩阵A奇异(即 A =0)，若λ=0为矩阵A的特征值，则存在非零向量a，使Aa=0a，Aa=0，即齐次线性方程组Ax =0有非零解，故 A =0，故矩阵A为奇异矩阵。
    必要性:若矩阵A是奇异矩阵，即 A =0→λ=0是矩阵A的特征值，已知A是奇异矩阵， A =0，取λ=0，有 A-λE = A-0E= A =0，λ=0，满足特征方程 A-λE =0，故λ=0 是矩阵A的特征值。

  • 第7题：

    设A是n阶正定矩阵,证明:｜E+A｜>1.


    答案：
    解析：

  • 第8题：

    设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，


    答案：
    解析：

  • 第9题：

    设A为n阶正定矩阵,证明：对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第10题：

    设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第11题：

    设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,


    答案：
    解析：

  • 第12题：

    n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则下列不成立的是（）。

    • A、所有k级子式为正（k=1，2，…，n）
    • B、A的所有特征值非负
    • C、秩（A）=n

    正确答案:A

  • 第13题：

    设A,B是正定实对称矩阵，则().

    A. AB,A+B一定都是正定实对称矩阵

    B. AB是正定实对称矩阵，A+B不是正定实对称矩阵

    C. A+B是正定实对称矩阵，AB不一定是正定实对称矩阵

    D. AB必不是正定实对称矩阵，A+B必是正定实对称矩阵


    参考答案C

  • 第14题：

    设A,B为,N阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是().

    A.r(A)=r（B）
    B.｜A｜=｜B｜
    C.A～B
    D.A,B与同一个实对称矩阵合同

    答案：D
    解析：
    因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同.反之，若A，B合同，则A，B的正、负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D).

  • 第15题：

    对称矩阵A正定的充分必要条件是|A|＞O


    答案：错
    解析：

  • 第16题：

    设n阶矩阵A与对角矩阵相似,则().

    A.A的n个特征值都是单值
    B.A是可逆矩阵
    C.A存在n个线性无关的特征向量
    D.A一定为n阶实对称矩阵

    答案：C
    解析：
    矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C).

  • 第17题：

    设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().

    A.可逆矩阵
    B.实对称矩阵
    C.正定矩阵
    D.正交矩阵

    答案：B
    解析：

  • 第18题：

    设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.


    答案：
    解析：

  • 第19题：

    设A,B都是N阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是.AB=BA


    答案：
    解析：

  • 第20题：

    试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的


    答案：
    解析：

  • 第21题：

    设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.


    答案：
    解析：

  • 第22题：

    证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使,即A与单位阵E合同


    答案：
    解析：

  • 第23题：

    n阶方阵A为正定的充分必要条件是()。


    答案：C
    解析：

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