证明：若矩阵A可逆,则其逆矩阵必然唯一.

题目
证明：若矩阵A可逆,则其逆矩阵必然唯一.

相似考题

1.若A是____,则A必为方阵。A.对称矩阵B.可逆矩阵C.n阶矩阵的转置矩阵D.线性方程组的系数矩阵

2.若矩阵A可逆,则AB与BA相似。()此题为判断题(对，错)。

3.设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是().A.若A,B可逆,则A+B可逆 B.若A,B可逆,则AB可逆 C.若A+B可逆,则A-B可逆 D.若A+B可逆,则A,B都可逆

4.若A是____,则其转置与它本身相等。A.对角矩阵B.三角形矩阵C.可逆矩阵D.对称矩阵

参考答案和解析
答案：
解析：
【证明】设存在可逆阵B，C，使得AB=AC=E，于是A(B-C)=O，故r(A)+r(B-C)≤n，因为A可逆，所以r(A)=n，从而r(B-C)=0，B-C=O，于是B=C，即A的逆矩阵是唯一的.
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  • 第1题：

    设a为N阶可逆矩阵，则（ ）.

    A.若AB=CB，则a=C：
    B.
    C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E：
    D.以上都不对.


    答案：C
    解析：

  • 第2题：

    设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().

    A.可逆矩阵
    B.实对称矩阵
    C.正定矩阵
    D.正交矩阵

    答案：B
    解析：

  • 第3题：

    设a为N阶可逆矩阵，则（ ）.

    A.若AB=CB，则a=C
    B.
    C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E
    D.以上都不对


    答案：C
    解析：

  • 第4题：

    设A是3阶矩阵，P=(a1,a2,a3)是3阶可逆矩阵，
    若矩阵Q=(a1,a2,a3)，则Q-1AQ=


    答案：B
    解析：
    提示:当P-1AP=Λ时，P=(a1,a2,a3)中a1,a2,a3的排列满足对应关系，a1对应λ1，a2对应λ2，a3对应λ3，可知a1对应特征值λ1=1，a2对应特征值λ2=2，a3对应特征值λ3=0，由此可

  • 第5题：

    设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且


    答案：
    解析：

  • 第6题：

    设n阶矩阵A满足，（1）证明A，A+2E，A+4E可逆，并求它们的逆；（2）当时，判断是否可逆，并说明理由。


    答案：
    解析：

  • 第7题：

    设A是n阶矩阵，E+A是可逆矩阵，记，若A按足条件，证明是反对称矩阵。


    答案：
    解析：


  • 第8题：

    证明下列命题：(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2) 若A可逆，则A*可逆且.(3) 若AA′=E,则.


    答案：
    解析：

  • 第9题：

    判断矩阵是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。


    答案：
    解析：

  • 第10题：

    设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=0，则( )。

    A.E－A不可逆，E+A不可逆
    B.E—A不可逆。E+A可逆
    C.E—A可逆。E+A可逆
    D.E—A可逆。E十A不可逆

    答案：C
    解析：
    (层_A)(E“+A2)=E-A3趣，(E+A)(E_A+A：)趣+A3翘，故E-A，层+A均可逆。

  • 第11题：

    求可逆矩阵A的逆矩阵的指令是（）


    正确答案:inv（A）

  • 第12题：

    填空题
    求可逆矩阵A的逆矩阵的指令是（）

    正确答案： inv（A）
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    对任一矩阵A，则一定是（ ）.

    A.可逆矩阵
    B.不可逆矩阵
    C.对称矩阵
    D.反对称矩阵

    答案：C
    解析：

  • 第14题：

    设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则



    答案：C
    解析：

  • 第15题：

    设A为n阶矩阵,A^2=A,则下列结论成立的是().

    A.A=O
    B.A=E
    C.若A不可逆,则A=O
    D.若A可逆,则A=E

    答案：D
    解析：
    因为A^2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得，r(A)+r(E—A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D).

  • 第16题：

    用矩阵分块的方法，证明矩阵可逆，并求其逆矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第17题：

    设A为n阶正定矩阵,证明：对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第18题：

    设A，B，A+B都是可逆矩阵，证明可逆，并求其逆矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第19题：

    已知A，B和A+B均为可逆矩阵，试证也可逆，并求其逆矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第20题：

    设P为可逆矩阵,A=P^TP.证明：A是正定矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第21题：

    设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则



    A.AE-A不可逆，E+A不可逆
    B.E-A不可逆，E+A可逆
    C.E-A可逆，E+A可逆
    D.E-A可逆，E+A不可逆

    答案：C
    解析：
    判断矩阵A可逆通常用定义，或者用充要条件行列式｜A｜≠0(当然｜A｜≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E，(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E，所以，由定义知E-A，E+A均可逆.故选(C).

    【评注】本题用特征值也是简捷的，由A^3=OA的特征值λ=0E-A(或E+A)特征值均不为0｜E-A｜≠0(或｜E+A｜≠0)E-A(或E+A)可逆

  • 第22题：

    设A是3阶矩阵，P = (α1，α2，α3)是3阶可逆矩阵，且，若矩阵Q=(α2，α1，α3),则Q-1AQ=( )。


    答案：B
    解析：
    提示：由条件知，λ1=1，λ2=2，λ3=0是矩阵A的特征值,而α1，α2，α3是对应的特征向量，故有。

  • 第23题：

    问答题
    设A为m×n矩阵（n＜m），且AX＝b有唯一解，证明：矩阵ATA为可逆矩阵，且方程组AX(→)＝b(→)的解为X(→)＝（ATA）－1ATb(→)（AT为A的转置矩阵）。

    正确答案：
    由AX(→)=b(→)有唯一解知r(A)=r(A┆b(→))=n,因此AX(→)=0(→)只有零解。
    若r(ATA)TAX(→)=0(→)有非零解,即存在X(→)0≠0使ATAX(→)0=0(→)。所以有X(→)0TATAX(→)0=(AX(→)0)TAX(→)0=0(→),即AX(→)0=0(→)。于是方程组AX(→)=0(→)有非零解,这与AX(→)=0(→)只有零解矛盾,故r(ATA)=n,即ATA可逆。
    由AX(→)=b(→)得,ATAX(→)=ATb(→),有X(→)=(ATA)-1ATb(→)。如果η(→)1,η(→)2,…,η(→)t是线性方程组AX(→)=b(→)的解,则u1η(→)1+u2η(→)2+…+utη(→)t也是AX(→)=b(→)的一个解。其中u1+u2+…+ut=1。
    因为η(→)1,η(→)2,…,η(→)t是AX(→)=b(→)的解,所以η(→)2-η(→)1,η(→)3-η(→)1,…,η(→)t-η(→)1是AX(→)=0(→)的解。
    由u1+u2+…+ut=1,得u1=1-u2-u3…-ut,所以有u1η(→)1+u2η(→)2+…+utη(→)t=(1-u2-u3-…-ut)η(→)1+u2η(→)2+…+utη(→)t=η(→)1+u2(η(→)2-η(→)1)+u3(η(→)3-η(→)1)+…+ut(η(→)t-η(→)1),即u1η(→)1+u2η(→)2+…+utη(→)t也是AX(→)=b(→)的解。
    解析： 暂无解析

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