设f(x)为连续函数，且下列极限都存在，则其中可推出f′(3)存在的是( )。A. B. C. D.
题目
设f(x)为连续函数，且下列极限都存在，则其中可推出f′(3)存在的是( )。
A.
B.
C.
D.
B.
C.
D.
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第1题：
设f(x)是定义在(-∞，+∞)上的连续函数，则( ).A.
B.
C.
D.
答案：D解析：
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第2题：
设f（x）、f'（x）为已知的连续函数，则微分方程y'+ f'（x）y = f（x）f'（x）的通解是：
答案：C解析：提示：对关于y、y'的一阶线性方程求通解。其中P（x）=f'（x）、Q（x）=f（x） * f'（x），
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第3题：
设f(x，y)为连续函数，且满足
，其中D是由x轴、y轴、
所围成的闭区域答案：解析：
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第4题：
设函数z=z(x，y)由方程
确定，其中F为可微函数，且F'2≠0，则
=A.Ax
B.z
C.-x
D.-z答案：B解析：
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第5题：
设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x-1)，x∈［0，2］，则f(7)=________.答案：1、1.解析：由f'(x)=2(x-1)，x∈［0，2］知，f(x)=(x-1)^2+C.又f(x)为奇函数，则f(0)=0,C=-1.f(x)=(x-1)^2-1.由于f(x)以4为周期，则f(7)=f［8+(-1)］=f(-1)=-f(1)=1. -
第6题：
设f（x，y）为连续函数，则
等于：
答案：B解析：提示：画出积分区域D的图形，再按先x后y顺序写成二次积分。
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第7题：
设f（x）为区间[a，b]上的连续函数，则曲线y=f（x）与直线x=a，x=b，y=0所围成的封闭图形的面积为（ ）.《》（ ）
答案：B解析：本题考查的知识点为定积分的几何意义.由定积分的几何意义可知应选B.常见的错误是选C.如果画个草图，则可以避免这类错误. -
第8题：
设
其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0点( )。A、极限不存在
B、极限存在但不连续
C、连续、但不可导
D、可导答案：D解析：
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第9题：
设f(x)是连续函数，且
，则f(x)=( )。
A. x2 B. X2-2 C. 2x D. x2-16/9答案：D解析：
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第10题：
设y=f(x)可导，点a0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3，则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为______．答案：解析：由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f′(2)=0．曲线y=fx)在点(2，3)处的切线方程为y-3=f′(2)(x-2)=0，即y=3为所求切线方程． -
第11题：
问答题设f（x），f′（x）在[a，b]上连续，f″（x）在（a，b）内存在，f（a）＝f（b）＝0，且存在c∈（a，b）使f（c）＞0。证明：必∃ξ∈（a，b）使f″（ξ）＜0。正确答案：
因f(x),f′(x)在[a,b]上连续,且c∈(a,b),则f(x)在[a,c]和[c,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,故∃a<η1
由题设可知,f(c)>0,f(a)=f(b)=0,则f′(η1)>0,f′(η2)<0。
又f″(x)在(a,b)内存在,则f′(x)在[η1,η2]上满足拉格朗日中值定理的条件,故f′(η2)-f′(η1)=f″(ξ)(η2-η1)<0,其中ξ∈(a,b),从而f″(ξ)<0。解析： 暂无解析 -
第12题：
单选题设f（x）的二阶导数存在，且f′（x）=f（1-x），则下列式中何式可成立（）？Af″（x）+f′（x）=0
Bf″（x）-f′（x）=0
Cf″（x）+f（x）=0
Df″（x）-f（x）=0
正确答案： C解析： 对已知式子两边求导。已知f′（x）=f（1-x），求导f″（x）=-f′（1-x），f（x）+f′（1-x）=0，将1-x代入式子f′（x）=f（1-x），得f′／（1-x）=f[1-（1-x）]=f（x），即f″（x）+f（x）=0 -
第13题：
设函数f(x)在x=a的某个邻域内连续，且f(a)为其极大值，则存在δ＞0，当x∈(a-δ，a+δ)时，必有( )。A.(x-a)[f(x)-f(a)]≥0
B.(x-a)[f(x)-f(a)]≤0
C.
D.
答案：C解析：
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第14题：
设f(x),f'(x)为已知的连续函数，则微分方程y'十f'(x)y=f(x)f'(x)的通解是：
A. y=f(x)+ce-f(x) B. y= f(x)ef(x) -ef(x) +c
C. y=f(x)-1+ce-f(x) D. y=f(x)-1+cef(x)答案：C解析：提示:对关于y、y'的一阶线性方程求通解。其中p(x)=f'(x)、Q(x) =f(x)*f'(x) 利
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第15题：
设f(x)是连续函数，
(Ⅰ)利用定义证明函数
可导，且F’(x)=f(x)；
(Ⅱ)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数
也是以2为周期的周期函数.答案：解析：
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第16题：
已知微分方程y’+y=f(x)，其中f(x)是R上的连续函数.
(Ⅰ)若f(x)=x，求方程的通解.
(Ⅱ)若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在唯一的以T为周期的解.答案：解析：【解】(Ⅰ)若f(x)=x，则方程为y'+y=x通解为
(Ⅱ)设y(x)为方程的任意解，则y'(x+T)+y(x+T)=f(x+T).
而f(x)周期为T，有f(x+T)=f(x).又y'(x)+y(x)=f(x).
因此y'(x+T)+y(x+T)-y'(x)-y(x)=0，有(e^x［y(x+T)-y(x)］)'=0，
即e^x［y(x+T)=y(x)］=C.取C=0得y(x+T)-y(x)=0，
y(x)为唯一以T为周期的解. -
第17题：
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在［a，b］上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ>0)内可导，且
=A，则
存在，且.
答案：解析：
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第18题：
则F（x)在x=0处A. 极限不存在
B. 极限存在但不连续
C. 连续但不可导
D. 可导答案：C解析：
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第19题：
设f（x）为[a，b]上的连续函数，则下列命题不正确的是（ ）。A.f（x）在[a，b]上有最大值
B.f（x）在[a，b]上一致连续
C.f（x）在[a，b]上可积
D.f（x）在[a，b]上可导答案：D解析：本题主要考查连续函数的特点。f（x）为[a，b]上的连续函数，则f（x）具有有界性，因此A、B、C三项都正确。可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导，所以D项错误。 -
第20题：
设f（x)为不恒等于零的奇函数，且厂(0)存在，则函数
()。A、在x=0处左极限不存在
B、有跳跃间断点x=0
C、在x=0处右极限不存在
D、有可去间断点x=0答案：D解析：
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第21题：
设f(x，y)为连续函数，
答案：D解析：积分区域D可以由0≤x≤1，x2≤y≤x表示，其图形为右图中阴影部分．
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第22题：
设f（x）的二阶导数存在，且f′（x）=f（1-x），则下列式中何式可成立（）？
- A、f″（x）+f′（x）=0
- B、f″（x）-f′（x）=0
- C、f″（x）+f（x）=0
- D、f″（x）-f（x）=0
正确答案:C -
第23题：
问答题设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，且存在相等的最大值。若f（a）＝g（a），f（b）＝g（b），证明： （1）存在η∈（a，b）使f（η）＝g（η）； （2）存在ξ∈（a，b）使f″（ξ）＝g″（ξ）。正确答案：
(1)构造函数h(x)=f(x)-g(x),由f(a)=g(a),f(b)=g(b)可知,h(a)=h(b)=0。可设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M,分别在α∈(a,b),β∈(a,b)处取得。
当α=β时,令η=α,则h(η)=0;
当α≠β时,h(α)=f(α)-g(α)=M-g(α)≥0,h(β)=f(β)-g(β)=f(β)-M≤0。由介值定理可知,存在介于α和β之间的点η使得h(η)=0。综上所述,∃η∈(a,b),使得h(η)=0。
(2)根据罗尔定理可知,∃ξ1∈(a,η),∃ξ2∈(η,b),使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0。再由罗尔定理可知,∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b),使得h″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ)。解析： 暂无解析