甲于2008年3月4日到某公司工作,4月6日,因公负伤,甲一直未与公司签订劳动合同。公司欲与甲解除劳动关系,而甲则要求公司承担赔偿责任。下列哪些说法是正确的()。A、因公司超过1月未与甲签订书面劳动合同，所以应当加倍支付甲工资B、甲已经与公司建立事实劳动关系，公司应当支付何某的医疗费用C、虽然甲不适合继续从事设计工作，公司也不得与甲解除劳动合同D、甲一直未与公司签订劳动合同，二者之间不存在法定劳动关系，公司不承担赔偿责任

答案：A B C 

解析：用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。所以D项错误。B项正确。

根据《劳动合同法》第42条规定第二款 用人单位不得解除劳动合同的情形，C项正确。

劳动者有下列情形之一的，用人单位不得解除劳动合同：

（一）从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或者疑似职业病病人在诊断或者医学观察期间的；

（二）在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的；

（三）患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的；

（四）女职工在孕期、产期、哺乳期的；

（五）在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的；

（六）法律、行政法规规定的其他情形。

根据《劳动合同法》第82条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。所以A项正确。