问答题设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。
题目
问答题
设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。
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第1题：
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（ ）
A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n答案：A解析：
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第2题：
设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵
.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.
答案：解析：
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第3题：
设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为_______.答案：解析：
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第4题：
设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=________.答案：1、-1.解析：
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第5题：
若一个n阶矩阵A中的元素满足：Aij=Aji（0<=I，j<=n-1）则称A为（）矩阵；若主对角线上方（或下方）的所有元素均为零时，称该矩阵为（）。
正确答案:上；三角矩阵 -
第6题：
设有n阶对称矩阵A，用数组s进行压缩存储，当i≥j时，A的数组元素aij相应于数组s的数组元素的下标为（）。（数组元素的下标从1开始）
正确答案:i（i-1）/2+j -
第7题：
填空题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝____。正确答案： -1解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第8题：
问答题设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。正确答案：
因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
由题知A=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A)m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。解析： 暂无解析 -
第9题：
填空题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。正确答案： -(A+E)/2解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第10题：
单选题设有10阶矩阵A，其对角线以上的元素aij均取值为-3，其他矩阵元素为正整数，现在将矩阵A压缩存放在一维树组F[m]中，则 m为（）。A45
B46
C55
D56
正确答案： D解析： 暂无解析 -
第11题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A4
B2
C－1
D1
正确答案： B解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第12题：
单选题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（ ）。AA＋2E
BA＋E
C（A＋E）/2
D－（A＋E）/2
正确答案： A解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第13题：
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足
，求 ①二次型
的标准形； ②行列式
的值，其中E为单位矩阵答案：解析：
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第14题：
设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,答案：解析：
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第15题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则
A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n答案：A解析：本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A) -
第16题：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ ）.《》（ ）A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n答案：A解析：设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m. -
第17题：
设有10阶矩阵A，其对角线以上的元素aij均取值为-3，其他矩阵元素为正整数，现在将矩阵A压缩存放在一维树组F[m]中，则 m为（）。
- A、45
- B、46
- C、55
- D、56
正确答案:D -
第18题：
问答题已知A＝（aij），B＝（bij）为两个n阶方阵。 X为n阶方阵。证明：AX＝B有解的充要条件是n＋1个矩阵A，A1，A2，…，An的秩相等。正确答案：
(1)必要性
设AX=B有解,令X1,X2,…,Xn是X的列向量,B1,B2,…,Bn是B的列向量。由AX=B有解知方程组AXk=Bk(k=1,2,…,n)有解,于是有r(A)=r(A┆Bk)=r(Ak)(k=1,2,…,n),即A,A1,A2,…,An的秩相等。
(2)充分性
若A,A1,A2,…,An的秩都相等,则方程组AXk=Bk有解。记其解为Ci(i=1,2,…,n),则AC=B(其中C是以Ci为列向量的矩阵),即C为AX=B的解,故AX=B有解。解析： 暂无解析 -
第19题：
单选题设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（ ）。Ar（A）＝m，r（B）＝m
Br（A）＝m，r（B）＝n
Cr（A）＝n，r（B）＝m
Dr（A）＝n，r（B）＝n
正确答案： C解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。 -
第20题：
单选题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（ ）。A（A＋E）/2
B－（A＋E）/2
C（A－E）/2
D－（A－E）/2
正确答案： C解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第21题：
问答题设A＝[aij]3×3是三阶非零矩阵，而且满足aij＝－Aij（i，j＝1，2，3），其中Aij为行列式|A|中aij的代数余子式，求行列式|A|的值。正确答案：
由题中条件可知A*=-AT,则,A*,=,-AT,。由,A*,=,A,3-1=,A,2,,-AT,=(-1)3,A,,则,A,2=(-1)3,A,=-,A,,故,A,=0或,A,=-1。
因为矩阵A为非零矩阵,可设a11≠0,A的行列式为,A,=a11A11+a12A12+a13A13=-a112-a122-a132≠0,所以,A,=-1。解析： 暂无解析 -
第22题：
填空题设有n阶对称矩阵A，用数组s进行压缩存储，当i≥j时，A的数组元素aij相应于数组s的数组元素的下标为（）。（数组元素的下标从1开始）正确答案： i（i-1）/2+j解析： 暂无解析 -
第23题：
单选题设矩阵Am×n的秩r（A）＝m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论正确的是（ ）。AA的任意m个列向量必线性无关
BA的任一个m阶子式不等于0
C非齐次线性方程组AX＝b一定有无穷多组解
DA通过行初等变换可化为（Em，0）
正确答案： C解析：
A项和B项，因r（A）＝m，则A有m个列向量线性无关或A有m阶子式不为0，但不是任意的；C项，由r（A）＝m＜n，知方程组AX＝b中有n－m个自由未知数，故其有无穷多解；D项，矩阵A仅仅通过初等行变换是不能变换为矩阵（Em，0）的。 -
第24题：
填空题若一个n阶矩阵A中的元素满足：Aij=Aji（0<=I，j<=n-1）则称A为（）矩阵；若主对角线上方（或下方）的所有元素均为零时，称该矩阵为（）。正确答案： 上,三角矩阵解析： 暂无解析