问答题设A为m×n矩阵（n＜m），且AX＝b有唯一解，证明：矩阵ATA为可逆矩阵，且方程组AX(→)＝b(→)的解为X(→)＝（ATA）－1ATb(→)（AT为A的转置矩阵）。
题目
问答题
设A为m×n矩阵（n＜m），且AX＝b有唯一解，证明：矩阵ATA为可逆矩阵，且方程组AX(→)＝b(→)的解为X(→)＝（ATA）－1ATb(→)（AT为A的转置矩阵）。
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第1题：
设A为m×n阶矩阵,则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是().
A.r(A)=m
B.r(A)=N
C.A为可逆矩阵
D.r(A)=b且b可由A的列向量组线性表示
答案：D解析：方程组AX=b有解的充分必要条件是6可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选(D). -
第2题：
设A是m×n阶矩阵,则下列命题正确的是().A.若m
C.若r(A)=n,则方程组AX=b一定有唯一解
D.若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解答案：D解析：因为若r(A)=m（即A为行满秩矩阵），则r(
)=m，于是r(A)=r(
)，即方程组AX=b一定有解，选(D).
-
第3题：
若A是m×n矩阵，且m≠n，则当R（A）=n时，非齐次线性方程组AX=b，有唯一解答案：错解析： -
第4题：
设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是().A.若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=b有唯一解
B.若方程组AX=0有非零解,则方程组AX=b有无穷多个解
C.若方程组AX=b无解,则方程组AX=0一定有非零解
D.若方程组AX=b有无穷多个解,则方程组AX=0一定有非零解答案：D解析：
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第5题：
非齐线性方程组AX=b中未知量的个数为n，方程的个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )。A 当r=m时，方程组AX=b有解
B 当r=n时，方程组AX=b有惟一解
C 当m=n时，方程组AX=b有惟一解
D 当r＜n时，方程组AX=b有无穷多解答案：A解析：系数矩阵A是m×n矩阵，增个矩阵B是m×(n+1)矩阵当R(A)=r=m时，由于R(B)≥R(A)=m，而B仅有m行，故有R(B)≤m，从而R(B)=m，即R(A)=R(B)，方程组有解 -
第6题：
设A是m×n阶矩阵,且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r答案：解析：
第7题：
设A为m X n矩阵，且r(A)=m小于n，则下列结论正确的是
AA的任意m阶子式都不等于零
BA的任意m个子向量线性无关
C方程组AX=b一定有无数个解
D矩阵A经过初等行变换化为
答案：C解析：
第8题：
设A为矩阵，
都是齐次线性方程组Ax=0的解，则矩阵A为( )。
答案：D解析：提示：由于
线性无关，故R(A)= 1，显然选项A中矩阵秩为3,选项B和C中矩阵秩都为2。第9题：
单选题设A是m×n阶矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）。A若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解
B若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多个解
C若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解
D若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解
正确答案： D解析：
由解的判定定理知，对Ax＝b，若有r（A）＝r（A）＝r，则Ax＝b一定有解。进一步，若r＝n，则Ax＝b有唯一解；若r＜n，则Ax＝b有无穷多解。而对Ax＝0一定有解，且设r（A）＝r，则若r＝n，Ax＝0仅有零解；若r＜n，Ax＝0有非零解。因此，若Ax＝b有无穷多解，则必有r（A）＝r（A）＝r＜n，Ax＝0有非零解，所以D项成立。但反过来，若r（A）＝r＝n（或＜n），并不能推导出r（A）＝r（A），所以Ax＝b可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解。第10题：
单选题非齐次线性方程组AX(→)＝b(→)中未知数个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ）。Ar＝m时，方程组AX＝b有解
Br＝n时，方程组AX＝b有唯一解
Cm＝n时，方程组AX＝b有唯一解
Dr＜n时，方程组AX＝b有无穷多解
正确答案： A解析：
A项，由于r＝m，则方程组AX＝b的增广矩阵化为阶梯形矩阵时，阶梯形矩阵不为0的行数为m，r（A）＝r（A）＝m，所以AX＝b有解；
B项，当r＝n时，可知n≤m，当n＜m时，则方程组AX＝b不一定只有唯一解；
C项，当m＝n时，r（A）不一定等于r，方程组不一定有解；
D项，当r＜n时，不能保证r（A）＝r（A）＝r，方程组AX＝b不一定有解。第11题：
设A,B都是N阶矩阵,且存在可逆矩阵P,使得AP=B,则().A.A,B合同
B.A,B相似
C.方程组AX=0与BX=0同解
D.r(A)=r(B)答案：D解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D).第12题：
若A是m×n矩阵，且m≠n，则当R（A）=m时，非齐次线性方程组AX=b，有解答案：对解析：第13题：
非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A.r=m时，方程组A-6有解.
B.r=n时，方程组Ax=b有唯一解.
C.m=n时，方程组Ax=b有唯一解.
D.r答案：A解析：因为A是m×n矩阵，若秩r(A)=m，则m=r(A)≤r(A，b)≤m.于是r(A)=r(A，b).故方程组有解，即应选(A).或，由r(A)=m，知A的行向量组线性无关，那么其延伸必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个行向量也是线性无关的，亦知r(A)=r(A，b).关于(B)、(D)不正确的原因是：由r(A)=n不能推导出r(A，b)=n(注意A是m×n矩阵，m可能大于n)，由r(A)=r亦不能推导出r(A，b)=r，你能否各举一个简单的例子？至于(C)，由克拉默法则，r(A)=n时才有唯一解，而现在的条件是r(A)=r，因此(C)不正确，第14题：
设A为m×n阶矩阵,且r(A)=m
BA的任意m阶子式都不等于零
C非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解
D矩阵A通过初等行变换一定可以化为
答案：C解析：显然由r(A)=m第15题：
设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为_______.答案：解析：
第16题：
设A为n×m矩阵,B为m×n矩阵(m>n),且AB=E.证明：B的列向量组线性无关.答案：解析：【证明】首先r(B)≤min{m，n）=n，由AB=E得r(AB)=n，而，.(AB)≤r(B)，所以r(B)≥n，从而r(B)=n，于是B的列向量组线性无关.第17题：
设A是m×n矩阵，如果mA.Ax=b必有无穷多解
B.Ax=b必有唯一解
C.Ax=0必有非零解
D.Ax=0必有唯一解答案：C解析：根据条件可知，方程组中方程的个数一定小于未知数的个数，所以Ax=0必有非零解。由
第18题：
非齐次线性方程组AX=b中未知数个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（ ）.A.r=m时，方程组AX=b有解
B.r=n时，方程组AX=b有唯一解
C.m=m时，方程组AX=b有唯一解
D.r＜n时，方程组AX=b有无穷多解答案：A解析：
第19题：
单选题n元线性方程组AX(→)＝b(→)有唯一解的充要条件为（ ）。AA为方阵且｜A｜≠0
B导出组AX＝0仅有零解
C秩（A）＝n
D系数矩阵A的列向量组线性无关，且常数向量b与A的列向量组线性相关
正确答案： C解析：
A项，系数矩阵A不一定是方阵；B项，导出组只有零解，方程组AX＝b不一定有解；C项，当r（A）＝n时，不一定有r（A）＝r（A）＝n；D项，b可由A的列向量组线性表示，则方程组AX＝b有唯一解。第20题：
问答题设A为m×n矩阵（n＜m），且AX＝b有唯一解，证明：矩阵ATA为可逆矩阵，且方程组AX(→)＝b(→)的解为X(→)＝（ATA）－1ATb(→)（AT为A的转置矩阵）。正确答案：
由AX=b有唯一解知r(A)=r(A┆b)=n,因此AX=0只有零解。
若r(ATA)
由AX=b得,ATAX=ATb,有X=(ATA)-1ATb。如果η1,η2,…,ηt是线性方程组AX=b的解,则u1η1+u2η2+…+utηt也是AX=b的一个解。其中u1+u2+…+ut=1。
因为η1,η2,…,ηt是AX=b的解,所以η2-η1,η3-η1,…,ηt-η1是AX=0的解。
由u1+u2+…+ut=1,得u1=1-u2-u3…-ut,所以有u1η1+u2η2+…+utηt=(1-u2-u3-…-ut)η1+u2η2+…+utηt=η1+u2(η2-η1)+u3(η3-η1)+…+ut(ηt-η1),即u1η1+u2η2+…+utηt也是AX=b的解。解析： 暂无解析