问答题求由方程x2＋y2＋z2－xz－yz－2x－2y＋2z－6＝0确定的函数z＝z（x，y）的极值。

题目

问答题

求由方程x2＋y2＋z2－xz－yz－2x－2y＋2z－6＝0确定的函数z＝z（x，y）的极值。

相似考题

1.(本题满分7分)设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyz确定，求δz/δy。

2.求由方程2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4z+4=0确定的隐函数的全微分．

3.求由方程2x2+y2+z2+2xy-2x-2y-4x+4=0确定的隐函数的全微分．

4.(本题满分8分) 设函数z=z(x，y)是由方程x+y3+z+e2x=1所确定的隐函数，求dz．

参考答案和解析

正确答案：
先求出函数z的各个偏导:
由原方程可得,原方程两边对x求导得
2x+2z·z_x′-z-(x+y)z_x′-2+2z_x′=0①
原方程两边对y求导得
2y+2z·z_y′-z-(x+y)z_y′-2+2z_y′=0②
①②中,令z_x′=0,z_y′=0,解得x=(z+2)/2,y=(z+2)/2,将其代入已知方程得Z=±4,故驻点为(3,3)和(-1,-1)。
①式两边对x,y分别求导得
2+2(z_x′)²+2zz_xx″-2z_x′+(2-x-y)z_xx″=0③
2z_y′z_x′+2zz_xy″-z_y′-z_x′+(2-x-y)z_xy″=0④
②式两边对y求导得
2+2(z_y′)²+2zz_yy″-2z_y′+(2-x-y)z_yy″=0⑤
当x=y=-1,z=-4时,z_x′=z_y′=0,将其代入③④⑤,得A=z_xx″(-1,-1)=1/2,B=z_xy″(-1,-1)=0,C=z_yy″(-1,-1)=1/2,B²-AC=-1/4<0,A=1/2>0。
则函数z在(-1,-1)处取得极小值z=-4。
当x=y=3,z=4时,z_x′=z_y′=0,并将其代入③④⑤,得A=z_xx″(3,3)=-1/2,B=z_xy″(3,3)=0,C=z_yy″(3,3)=-1/2,B²-AC=-1/4<0,A=-1/2<0。
故z在(3,3)点处取到极大值z=4。

解析：暂无解析

更多“问答题求由方程x2＋y2＋z2－xz－yz－2x－2y＋2z－6＝0确定的函数z＝z（x，y）的极值。”相关问题

第1题：

求函数z=x2+2y2+4x-8y+2的极值．

答案：
解析：

所以z(-2，2)=-10为极小值．
第2题：

求函数z=x2-xy+y2+9x一6y+20的极值．

答案：
解析：

联立解出驻点为(-4，1)，
由

且点(-4，1)处

故在点(-4，1)处函数z取得极小值-1．
第3题：

设D={(x,y)|0,
　　(1)令U=X＋Z,求U的分布函数.
　　(2)判断X,Z是否独立.

答案：
解析：
第4题：

设函数y=f(x)由方程y^3+xy^2+x^2y+6=0确定，求f(x)的极值.

答案：
解析：
第5题：

若函数z=z(x，y)由方程确定，则=_________.

答案：1、-dx.
解析：
第6题：

设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值

答案：
解析：
第7题：

问答题
求由方程x2＋y2＋z2－xz－yz－2x－2y＋2z－6＝0确定的函数z＝z（x，y）的极值。

正确答案：
先求出函数z的各个偏导:
由原方程可得,原方程两边对x求导得
2x+2z·z_x′-z-(x+y)z_x′-2+2z_x′=0①
原方程两边对y求导得
2y+2z·z_y′-z-(x+y)z_y′-2+2z_y′=0②
①②中,令z_x′=0,z_y′=0,解得x=(z+2)/2,y=(z+2)/2,将其代入已知方程得Z=±4,故驻点为(3,3)和(-1,-1)。
①式两边对x,y分别求导得
2+2(z_x′)²+2zz_xx″-2z_x′+(2-x-y)z_xx″=0③
2z_y′z_x′+2zz_xy″-z_y′-z_x′+(2-x-y)z_xy″=0④
②式两边对y求导得
2+2(z_y′)²+2zz_yy″-2z_y′+(2-x-y)z_yy″=0⑤
当x=y=-1,z=-4时,z_x′=z_y′=0,将其代入③④⑤,得A=z_xx″(-1,-1)=1/2,B=z_xy″(-1,-1)=0,C=z_yy″(-1,-1)=1/2,B²-AC=-1/4<0,A=1/2>0。
则函数z在(-1,-1)处取得极小值z=-4。
当x=y=3,z=4时,z_x′=z_y′=0,并将其代入③④⑤,得A=z_xx″(3,3)=-1/2,B=z_xy″(3,3)=0,C=z_yy″(3,3)=-1/2,B²-AC=-1/4<0,A=-1/2<0。
故z在(3,3)点处取到极大值z=4。
解析：暂无解析
第8题：

单选题
设函数z＝z（x，y）由方程z＝e2x－3z＋2y确定，则3∂z/∂x＋（∂z/∂y）＝（　　）。
A
2
B
1
C
e
D
0

正确答案： A
解析：
构造函数F（x，y，z）＝z－e^2x^－^3z－2y。则∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝2e^2x^－^3z/（1＋3e^2x^－^3z），∂z/∂y＝－F_y′/F_z′＝2/（1＋3e^2x^－^3z），故3∂z/∂x＋（∂z/∂y）＝2。
第9题：

填空题
设函数z＝z（x，y）由方程F（x－az，y－bz）＝0所给出，其中F（u，v）任意可微，则a∂z/∂x＋（b∂z/∂y）＝____。

正确答案： 1
解析：
根据偏导数的求解方法可知∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝－F₁′/（―aF₁′―bF₂′），∂z/∂y＝－F_y′/F_z′＝－F₂′/（―aF₁′―bF₂′），故a∂z/∂x＋（b∂z/∂y）＝－（aF₁′＋bF₂′）/（―aF₁′―bF₂′）＝1。
第10题：

单选题
由方程f（y/x，z/x）＝0确定z＝z（x，y）（f可微），则x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝（　　）。
A
－z
B
z
C
－y
D
y

正确答案： A
解析：
由f（y/x，z/x）＝0可得，∂z/∂x＝－[f₁′·（－y/x²）＋f₂′·（－z/x²）]/（f₂′/x），∂z/∂y＝－（f₁′/x）/（f₂′/x），则x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝－（―yf₁′/x―zf₂′/x＋yf₁′/x）/（f₂′/x）＝z。
第11题：

单选题
设函数z＝z（x，y）由方程F（x－az，y－bz）＝0所给出，其中F（u，v）任意可微，则a∂z/∂x＋（b∂z/∂y）＝（　　）。
A
1
B
2
C
3
D
4

正确答案： D
解析：
根据偏导数的求解方法可知∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝－F₁′/（―aF₁′―bF₂′），∂z/∂y＝－F_y′/F_z′＝－F₂′/（―aF₁′―bF₂′），故a∂z/∂x＋（b∂z/∂y）＝－（aF₁′＋bF₂′）/（―aF₁′―bF₂′）＝1。
第12题：

单选题
设三元函数xy－zlny＋exz＝1，根据隐函数存在定理，存在点（0，1，1）的一个邻域，在此邻域内该方程（　　）。
A
只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z＝z（x，y）
B
可确定两个具有连续偏导数的隐函数y＝y（x，z）和z＝z（x，y）
C
可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x（y，z）和z＝z（x，y）
D
可确定两个具有连续偏导数的隐函数x＝x（y，z）和y＝y（x，z）

正确答案： C
解析：
构造函数F（x，y，z）＝xy－zlny＋e^xz－1，则F_x′＝y＋ze^xz，F_y′＝x－（z/y），F_z′＝－lny＋xe^xz。F_x′（0，1，1）＝2≠0，F_y′（0，1，1）＝－1≠0，F_z′（0，1，1）＝0。
故根据隐函数的存在定理可知，方程xy－zlny＋e^xz＝1能确定x是y、z的具有连续偏导数的函数x＝x（y，z）；y是x、z的具有连续偏导数的函数y＝y（x，z）。因为F_z′（0，1，1）＝0不能满足定理成立的条件，故不能确定z是x、y的具有连续偏导数的隐函数z＝z（x，y）。
第13题：

求函数z=x2+y2+2y的极值．

答案：
解析：
第14题：

设z=z(x，y)是由方程x2+y2+z2=ez所确定的隐函数，求dz．

答案：
解析：
第15题：

已知函数y(x)由方程x^3+y^3-3x+3y-2=0确定，求y(x)的极值.

答案：
解析：
第16题：

设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F'2≠0，则=

A.Ax
B.z
C.-x
D.-z

答案：B
解析：
第17题：

设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程

A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)
B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)
C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)
D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)

答案：D
解析：
第18题：

设Z=Z(x，Y)是由方程x+y3+z+e2=1确定的函数，求dz

答案：
解析：
利用隐函数求偏导数公式，记
第19题：

单选题
设f（x，y，z）＝exyz2，其中z＝z（x，y）是由x＋y＋z＋xyz＝0确定的隐函数，则fx′（0，1，－1）＝（　　）。
A
e
B
2e
C
0
D
1

正确答案： B
解析：
构造函数F（x，y，z）＝x＋y＋z＋xyz，则有∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝－（1＋yz）/（1＋xy），（∂z/∂x）|_（₀_，₁_，－₁_）＝0，又由f（x，y，z）＝e^xyz²，得f_x′＝e^xyz²＋e^xy·2z·z_x′，
代入（0，1，－1），得f_x′（0，1，－1）＝e⁰×1×（－1）²＋e⁰×1×2×（－1）×0＝1。
第20题：

单选题
设z＝z（x，y）是由方程xz－xy＋ln（xyz）＝0所确定的可微函数，则∂z/∂y等于（　　）。[2013年真题]
A
－xz/（xz＋1）
B
－x＋1/2
C
z（－xz＋y）/[x（xz＋1）]
D
z（xy－1）/[y（xz＋1）]

正确答案： B
解析：
将xz－xy＋ln（xyz）＝0两边对y求偏导，得xz_y′－x＋x（z＋y·z_y′）/（xyz）＝0，整理得z_y′＝z（xy－1）/[y（xz＋1）]。
第21题：

单选题
设函数z＝z（x，y）由方程z＝e2x－3z＋2y确定，则3∂z/∂x＋（∂z/∂y）＝（　　）。
A
0
B
1
C
2
D
4

正确答案： B
解析：
构造函数F（x，y，z）＝z－e^2x^－^3z－2y。则∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝2e^2x^－^3z/（1＋3e^2x^－^3z），∂z/∂y＝－F_y′/F_z′＝2/（1＋3e^2x^－^3z），故3∂z/∂x＋（∂z/∂y）＝2。
第22题：

填空题
设f（x，y，z）＝exyz2，其中z＝z（x，y）是由x＋y＋z＋xyz＝0确定的隐函数，则fx′（0，1，－1）＝____。

正确答案： 1
解析：
构造函数F（x，y，z）＝x＋y＋z＋xyz，则有∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝－（1＋yz）/（1＋xy），（∂z/∂x）|_（₀_，₁_，－₁_）＝0，又由f（x，y，z）＝e^xyz²，得f_x′＝e^xyz²＋e^xy·2z·z_x′，代入（0，1，－1），得f_x′（0，1，－1）＝e⁰×1×（－1）²＋e⁰×1×2×（－1）×0＝1。
第23题：

填空题
设函数z＝z（x，y）由方程z＝e2x－3z＋2y确定，则3∂z/∂x＋∂z/∂y＝____。

正确答案： 2
解析：
方程两边同时对x求偏导，则∂z/∂x＝e^2x^－^3z（2－3∂z/∂x），可得∂z/∂x＝2e^2x^－^3z/（1＋3e^2x^－^3z）。同理∂z/∂y＝e^2x^－^3z（－3∂z/∂y）＋2，可得∂z/∂y＝2/（1＋3e^2x^－^3z），所以3∂z/∂x＋∂z/∂y＝6e^2x^－^3z/（1＋3e^2x^－^3z）＋2/（1＋3e^2x^－^3z）＝2（1＋3e^2x^－^3z）/（1＋3e^2x^－^3z）＝2。
第24题：

单选题
设函数z＝z（x，y）由方程F（x－az，y－bz）＝0所给出，其中F（u，v）任意可微，则a∂z/∂x＋（b∂z/∂y）＝（　　）。
A
0
B
1
C
2
D
4

正确答案： B
解析：
根据偏导数的求解方法可知∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝－F₁′/（―aF₁′―bF₂′），∂z/∂y＝－F_y′/F_z′＝－F₂′/（―aF₁′―bF₂′），故a∂z/∂x＋（b∂z/∂y）＝－（aF₁′＋bF₂′）/（―aF₁′―bF₂′）＝1。

问答题求由方程x2＋y2＋z2－xz－yz－2x－2y＋2z－6＝0确定的函数z＝z（x，y）的极值。

题目

相似考题

参考答案和解析

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