填空题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝____。
题目
填空题
设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝____。
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第1题：
设A是n阶矩阵，且Ak=O(k为正整数)，则( )。A.A一定是零矩阵
B.A有不为0的特征值
C.A的特征值全为0
D.A有n个线性无关的特征向量答案：C解析：
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第2题：
设A为n阶矩阵,证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α,β使得A=αβT.答案：解析：
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第3题：
设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵
.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.
答案：解析：
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第4题：
设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则
A.AE-AA^T不可逆
B.E+AA^T不可逆
C.E+2AA^T不可逆
D.E-2AA^T不可逆答案：A解析：A=αα^T是秩为1的矩阵，又α为单位列向量，有α^Tα=1.故矩阵A的特征值为1，0，…，0(n-1个)所以E-αα^T的特征值为0，1，…，1(n-1个)因此矩阵E-αα^T不可逆.应选(A) -
第5题：
设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=0，则( )。A.E－A不可逆，E+A不可逆
B.E—A不可逆。E+A可逆
C.E—A可逆。E+A可逆
D.E—A可逆。E十A不可逆
答案：C解析：(层_A)(E“+A2)=E-A3趣，(E+A)(E_A+A：)趣+A3翘，故E-A，层+A均可逆。 -
第6题：
单选题设n维行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩阵A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于（ ）。AO
B－E
CE
DE＋αTα
正确答案： D解析：
注意利用ααT＝1/2来简化计算。AB＝（E－αTα）（E＋2αTα）＝E＋2αTα－αTα－2αTααTα＝E＋αTα－2αT（ααT）α＝E＋αTα－2·（1/2）αTα＝E。 -
第7题：
单选题设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB＝0，则A＝（ ）。A0
B1
C2
D3
正确答案： A解析：
取基本单位向量组为ε1，ε2，…，εn。
当m＝n时，由对任意B都有AB＝0，则对B＝（ε1，ε2，…，εn）＝En也成立，即AE＝0，故A＝0。
当m＞n时，取B＝（ε1，ε2，…，εn，B1）＝（En，B1），则由AB＝A（En，B1）＝0，知AEn＝0，故A＝0。 -
第8题：
问答题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx(→)＝0(→)有解向量α，且Ak－1α(→)≠0(→)，证明：向量组α(→)，Aα(→)，…，Ak－1α(→)是线性无关的。正确答案：
根据定义可设l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0。
当k≥2时,左乘Ak-1得到l0Ak-1α+l1Akα+…+lk-1A2k-2α=0,因为Akα=0,则l0Ak-1α=0,但Ak-1α≠0,则l0=0,l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0。
类似,依次左乘Ak-2,Ak-3,…,得到l1=…=lk-1=0,因此当k≥2时,α,Aα,…,Ak-1α线性无关。
当k=1时,Ak-1α≠0,则α≠0,向量α线性无关。
综上,向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。解析： 暂无解析 -
第9题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A－2
B－1
C0
D1
正确答案： A解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第10题：
问答题设A＝E－α(→)α(→)T，其中E是n阶单位矩阵，α(→)是n维非零列向量，α(→)T是α(→)的转置。证明： （1）A2＝A的充要条件是α(→)Tα(→)＝1； （2）当α(→)Tα(→)＝1时，A是不可逆矩阵。正确答案：
(1)必要性:由A=E-ααT,可知
A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-ααT-ααT +(ααT)(ααT)=E-2ααT+α(αTα)αT=E-ααT +(αTα-1)ααT
若A2=A=E-ααT,则(αTα-1)ααT=0,因为α为非零向量,故ααT≠0,所以有αTα-1=0,即αTα=1。
充分性:若ααT=1,即ααT-1=0,则A2=E-ααT+(αTα-1)ααT=E-ααT=A。
(2)(反证法)
若ααT=1,则有A2=A。如果矩阵A可逆,则有A-1A2=A-1A=E,即A=E,这与A=E-ααT相矛盾(由α是n维非零列向量,故ααT≠0),故矩阵A不可逆。解析： 暂无解析 -
第11题：
问答题设A为n阶方阵，若对任意n维向量x(→)＝（x1，x2，…，xn）T都有Ax(→)＝0。证明：A＝0。正确答案：
由对任意n维向量x都有Ax=0,知对基本单位向量组ε1,ε2,…,εn,Aεi=0(i=1,2,…,n)成立。
所以有A(ε1,ε2,…,εn)=0,即AE=0,故A=0。解析： 暂无解析 -
第12题：
单选题设矩阵Am×n的秩r（A）＝m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论正确的是（ ）。AA的任意m个列向量必线性无关
BA的任一个m阶子式不等于0
C非齐次线性方程组AX＝b一定有无穷多组解
DA通过行初等变换可化为（Em，0）
正确答案： C解析：
A项和B项，因r（A）＝m，则A有m个列向量线性无关或A有m阶子式不为0，但不是任意的；C项，由r（A）＝m＜n，知方程组AX＝b中有n－m个自由未知数，故其有无穷多解；D项，矩阵A仅仅通过初等行变换是不能变换为矩阵（Em，0）的。 -
第13题：
设A,B是n阶矩阵，且B≠0，满足AB=0，则以下选项中错误的是：
A.r(A)+r(B)≤n B. A =0 或 B =0 C. 0≤r(A)答案：D解析：提示:根据矩阵乘积秩的性质，AB=0，有r(A)+r(B)≤n成立，选项A正确。AB=0，取矩阵的行列式， A B =0， A =0或 B =0，选项B正确。又因为B≠0，B为非零矩阵， r(B)≥1，由上式r(A) + r(B)≤n，推出0≤r(A) -
第14题：
设A为n阶矩阵,且｜A｜=0,
≠0,则AX=0的通解为_______.答案：解析：
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第15题：
设A为n阶矩阵,A的各行元素之和为0且r(A)=n-1,则方程组AX=0的通解为_______.答案：解析：
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第16题：
设α为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E-αα^T的秩为________.答案：解析：
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第17题：
已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则（）。
- A、β是A的属于特征值0的特征向量
- B、α是A的属于特征值0的特征向量
- C、β是A的属于特征值3的特征向量
- D、α是A的属于特征值3的特征向量
正确答案:C -
第18题：
填空题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。正确答案： -(A+E)/2解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第19题：
单选题已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有XTAX＝0，则有（ ）。A｜A｜＞0
B｜A｜＝0
C｜A｜＜0
D以上三种都有可能
正确答案： D解析：
由于对任一n维列向量X均有XTAX＝0，两边转置，有XTATX＝0，从而XT（A＋AT）X＝0。显然有（A＋AT）T＝A＋AT，即A＋AT为对称矩阵。从而对任一n维列向量X均有：XT（A＋AT）X＝0，A＋AT为实对称矩阵，从而有A＋AT＝0。即AT＝－A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故｜A｜＝0。 -
第20题：
填空题设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB=0，则A=____.正确答案： 0解析：
取基本单位向量组为ε1，ε2，…εn
当m=n时，由对任意B都有AB=0，则对B=（ε1，ε2，…εn）=En也成立，即AE=0，故A=0．
当m>n时，取B=（ε1，ε2，…εn，B1）=（En，B1），则由AB=A（En，B1）=0，知AEn=0，故A=0． -
第21题：
单选题已知3维列向量α，β满足αTβ=3，设3阶矩阵A=βαT，则（）。Aβ是A的属于特征值0的特征向量
Bα是A的属于特征值0的特征向量
Cβ是A的属于特征值3的特征向量
Dα是A的属于特征值3的特征向量
正确答案： D解析： 暂无解析 -
第22题：
单选题设n维向量α(→)＝（a，0，…，0，a）T，a＜0，E为n阶单位矩阵，矩阵A＝E－α(→)α(→)T，B＝E＋α(→)α(→)T/a，且B为A的逆矩阵，则a＝（ ）。A4
B2
C－1
D1
正确答案： B解析：
由矩阵B是矩阵A的逆矩阵，所以有AB＝E。从而（E－ααT）（E＋ααT/a）＝E－ααT＋ααT/a－α（αTα）αT/a＝E，即ααT（1/a－1－2a2/a）＝0。
由于ααT≠0，故1/a－1－2a2/a＝0，又因a＜0，可得a＝－1。 -
第23题：
问答题设A为n阶方阵，若对任意n维向量X=（x1，x2，…，xn）T都有AX=0.证明：A=0.正确答案：
证明:由对任意n维向量X都有AX=0,知对基本单位向量组ε1,ε2,…,εn,Aεi=0(i=1,2,…,n)成立.
所以有A(ε1,ε2,…,εn)=0,即AE=0,故A=0.解析： 暂无解析