填空题设函数y＝y（x）由方程2xy＝x＋y所确定，则dy|x＝0＝____。

题目

填空题

设函数y＝y（x）由方程2xy＝x＋y所确定，则dy|x＝0＝____。

相似考题

1.设函数y=y(x)由方程y+arcsinx=ex+y确定。求dy.

2.设函数y=f(x)由方程确定，则=________.

3.下列一阶微分方程中，哪一个是一阶线性方程（）？A、（xey-2y）dy+eydx=0B、xy′+y=ex+yC、［x／（1+y）]dx-[y／（1+x）］dy=0D、dy／dx=（x+y）／（x-y）

4.设函数y=f(x)由方程y^3+xy^2+x^2y+6=0确定，求f(x)的极值.

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第1题：

填空题
设函数y＝y（x）由方程y＝f（x2＋y2）＋f（x＋y）所确定，且y（0）＝2，其中f是可导函数，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，则dy/dx|x＝0＝____。

正确答案： -1/7
解析：
由方程y＝f（x²＋y²）＋f（x＋y）。两边对x求导得y_x′＝f′（x²＋y²）（2x＋2y·y_x′）＋f′（x＋y）（1＋y_x′）。
又y（0）＝2，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，，故y′|_x_＝₀＝f′（4）·4y′|_x_＝₀＋f′（2）（1＋y′|_x_＝₀），y′|_x_＝₀＝4y′|_x_＝₀＋（1＋y′|_x_＝₀）/2，解得y′|_x_＝₀＝－1/7。
第2题：

单选题
设函数z＝z（x，y）由方程z＝e2x－3z＋2y确定，则3∂z/∂x＋（∂z/∂y）＝（　　）。
A
2
B
1
C
e
D
0

正确答案： A
解析：
构造函数F（x，y，z）＝z－e^2x^－^3z－2y。则∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝2e^2x^－^3z/（1＋3e^2x^－^3z），∂z/∂y＝－F_y′/F_z′＝2/（1＋3e^2x^－^3z），故3∂z/∂x＋（∂z/∂y）＝2。
第3题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程exy＋ln[y/（x＋1）]＝0所确定，则y′（0）＝（　　）。
A
（e－1）/e
B
（e＋1）/e
C
（e－1）/e²
D
（e＋1）/e²

正确答案： C
解析：
e^xy＋ln[y/（x＋1）]＝0方程两边对x求导，得e^xy（y＋xy′）＋y′/y－1/（x＋1）＝0。当x＝0时，y＝e^－1。将x＝0，y＝e^－1代入上式，得y′（0）＝（e－1）/e²。
第4题：

填空题
设函数y＝y（x）由方程y＝1－xey确定，则（dy/dx）|x＝0＝____。

正确答案： -e
解析：
设F（x，y）＝y－1＋xe^y，则dy/dx＝－F_x′/F_y′＝－e^y/（1＋xe^y）。x＝0时，y＝1，代入上式得（dy/dx）|_x_＝₀＝－e。
第5题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程y＝f（x2＋y2）＋f（x＋y）所确定，且y（0）＝2，其中f是可导函数，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，则dy/dx|x＝0＝（　　）。
A
1
B
－1
C
1/7
D
－1/7

正确答案： B
解析：
由方程y＝f（x²＋y²）＋f（x＋y）。两边对x求导得y_x′＝f′（x²＋y²）（2x＋2y·y_x′）＋f′（x＋y）（1＋y_x′）。
又y（0）＝2，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，故y′|_x_＝0＝f′（4）·4y′|_x_＝0＋f′（2）（1＋y′|_x_＝0），y′|_x_＝0＝4y′|_x_＝0＋（1＋y′|_x_＝0）/2，解得y′|_x_＝0＝－1/7。
第6题：

单选题
由方程f（y/x，z/x）＝0确定z＝z（x，y）（f可微），则x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝（　　）。
A
－z
B
z
C
－y
D
y

正确答案： A
解析：
由f（y/x，z/x）＝0可得，∂z/∂x＝－[f₁′·（－y/x²）＋f₂′·（－z/x²）]/（f₂′/x），∂z/∂y＝－（f₁′/x）/（f₂′/x），则x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝－（―yf₁′/x―zf₂′/x＋yf₁′/x）/（f₂′/x）＝z。
第7题：

填空题
设函数y＝y（x）由方程exy＋ln[y/（x＋1）]＝0所确定，则y′（0）＝____。

正确答案： (e-1)/e²
解析：
e^xy＋ln[y/（x＋1）]＝0方程两边对x求导，得e^xy（y＋xy′）＋y′/y－1/（x＋1）＝0。当x＝0时，y＝e^－¹。将x＝0，y＝e^－¹代入上式，得y′（0）＝（e－1）/e²。
第8题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程2xy＝x＋y所确定，则dy|x＝0＝（　　）。
A
ln2－1
B
（ln2－1）dx
C
ln2＋1
D
（ln2＋1）dx

正确答案： D
解析：
2^xy＝x＋y等式两边求微分，得2^xyln2d（xy）＝dx＋dy，即2^xyln2（xdy＋ydx）＝dx＋dy。当x＝0时，y＝1，代入上式得dy|_x_＝₀＝（ln2－1）dx。
第9题：

填空题
设函数y＝f（x）由方程e2x＋y－cos（xy）＝e－1所确定，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的法线方程为____。

正确答案： y-1=x/2
解析：
e^2x^＋^y－cos（xy）＝e－1方程两边对x求导，得e^2x^＋^y（2＋y′）＋sin（xy）·（y＋xy′）＝0。当x＝0时，y＝1，y′＝－2，因此，法线方程为y－1＝x/2。
第10题：

单选题
函数y＝f（x）是由方程xy＋2lnx＝y4所确定，则曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程为（　　）。
A
－x－y＝0
B
x－y－1＝0
C
x－y＝0
D
x＋y＝0

正确答案： A
解析：
xy＋2lnx＝y⁴两端对x求导，得y＋xy′＋2/x＝4y³·y′。x＝1时，y＝1，y′（1）＝1，则切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0。
第11题：

单选题
已知函数y＝y（x）由方程ey＋6xy＋x2－1＝0所确定，则y″（0）＝（　　）。
A
2
B
－2
C
0
D
－1

正确答案： C
解析：
e^y＋6xy＋x²－1＝0两边对x求导，得e^y·y′＋6xy′＋6y＋2x＝0①。两边再对x求导，得e^y·y″＋e^y（y′）²＋6xy″＋12y′＋2＝0②。当x＝0时，y＝0，将x＝0，y＝0代入①得y′（0）＝0，再将x＝y＝y′（0）＝0代入②得y″（0）＝－2。
第12题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程ln（x2＋y）＝x3y＋sinx确定，则（dy/dx）|x＝0＝（　　）。
A
1
B
2
C
3
D
4

正确答案： C
解析：
ln（x²＋y）＝x³y＋sinx两边同时对x求导，得（2x＋y′）/（x²＋y）＝3x²y＋x³y′＋cosx，当x＝0时，y＝1，代入上式得y′（0）＝1。
第13题：

填空题
设方程x＝yy确定y是x的函数，则dy＝____。

正确答案： dx/[x(1+lny)]
解析：
由dx＝d（y^y）＝d（e^ylny）＝y^yd（ylny）＝y^y（1＋lny）dy，得dy＝dx/[y^y（1＋lny）]＝dx/[x（1＋lny）]。
第14题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程y＝f（x2＋y2）＋f（x＋y）所确定，且y（0）＝2，其中f是可导函数，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，则dy/dx|x＝0＝（　　）。
A
1/5
B
1/7
C
－1/7
D
－1/5

正确答案： B
解析：
由方程y＝f（x²＋y²）＋f（x＋y）。两边对x求导得y_x′＝f′（x²＋y²）（2x＋2y·y_x′）＋f′（x＋y）（1＋y_x′）。
又y（0）＝2，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，故y′|_x_＝₀＝f′（4）·4y′|_x_＝₀＋f′（2）（1＋y′|_x_＝₀），y′|_x_＝₀＝4y′|_x_＝₀＋（1＋y′|_x_＝₀）/2，解得y′|_x_＝₀＝－1/7。
第15题：

单选题
设z＝φ（x2－y2），其中φ有连续导数，则函数z满足（　　）。
A
x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝0
B
x∂z/∂x－y∂z/∂y＝0
C
y∂z/∂x＋x∂z/∂y＝0
D
y∂z/∂x－x∂z/∂y＝0

正确答案： B
解析：
令u＝x²－y²，则z＝φ（u），∂z/∂x＝φ′（u）·2x＝2xφ′（u），∂z/∂y＝－2yφ′（u），故y∂z/∂x＋x∂z/∂y＝0。
第16题：

填空题
设函数y＝y（x）由方程ln（x2＋y）＝x3y＋sinx确定，则（dy/dx）|x＝0＝____。

正确答案： 1
解析：
ln（x²＋y）＝x³y＋sinx两边同时对x求导，得（2x＋y′）/（x²＋y）＝3x²y＋x³y′＋cosx，当x＝0时，y＝1，代入上式得y′（0）＝1。
第17题：

填空题
设函数z＝z（x，y）由方程F（x－az，y－bz）＝0所给出，其中F（u，v）任意可微，则a∂z/∂x＋（b∂z/∂y）＝____。

正确答案： 1
解析：
根据偏导数的求解方法可知∂z/∂x＝－F_x′/F_z′＝－F₁′/（―aF₁′―bF₂′），∂z/∂y＝－F_y′/F_z′＝－F₂′/（―aF₁′―bF₂′），故a∂z/∂x＋（b∂z/∂y）＝－（aF₁′＋bF₂′）/（―aF₁′―bF₂′）＝1。
第18题：

填空题
已知函数y＝y（x）由方程ey＋6xy＋x2－1＝0所确定，则y″（0）＝____。

正确答案： -2
解析：
e^y＋6xy＋x²－1＝0两边对x求导，得e^y·y′＋6xy′＋6y＋2x＝0①。两边再对x求导，得e^y·y″＋e^y（y′）²＋6xy″＋12y′＋2＝0②。当x＝0时，y＝0，将x＝0，y＝0代入①得y′（0）＝0，再将x＝y＝y′（0）＝0代入②得y″（0）＝－2。
第19题：

填空题
设函数z＝z（x，y）由方程z＝e2x－3z＋2y确定，则3∂z/∂x＋∂z/∂y＝____。

正确答案： 2
解析：
方程两边同时对x求偏导，则∂z/∂x＝e^2x^－^3z（2－3∂z/∂x），可得∂z/∂x＝2e^2x^－^3z/（1＋3e^2x^－^3z）。同理∂z/∂y＝e^2x^－^3z（－3∂z/∂y）＋2，可得∂z/∂y＝2/（1＋3e^2x^－^3z），所以3∂z/∂x＋∂z/∂y＝6e^2x^－^3z/（1＋3e^2x^－^3z）＋2/（1＋3e^2x^－^3z）＝2（1＋3e^2x^－^3z）/（1＋3e^2x^－^3z）＝2。
第20题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程ln（x2＋y）＝x3y＋sinx确定，则（dy/dx）|x＝0＝（　　）。
A
ln1
B
0
C
sin1
D
1

正确答案： A
解析：
ln（x²＋y）＝x³y＋sinx两边同时对x求导，得（2x＋y′）/（x²＋y）＝3x²y＋x³y′＋cosx，当x＝0时，y＝1，代入上式得y′（0）＝1。
第21题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程exy＋ln[y/（x＋1）]＝0所确定，则y′（0）＝（　　）。
A
－1/e
B
（e－1）/e²
C
（e－1）/e
D
－1/e²

正确答案： A
解析：
e^xy＋ln[y/（x＋1）]＝0方程两边对x求导，得e^xy（y＋xy′）＋y′/y－1/（x＋1）＝0。当x＝0时，y＝e^－¹。将x＝0，y＝e^－¹代入上式，得y′（0）＝（e－1）/e²。
第22题：

单选题
函数y＝f（x）是由方程xy＋2lnx＝y4所确定，则曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程为（　　）。
A
x－y＝0
B
x＋y＝0
C
－x－y＝0
D
－x＋y＝0

正确答案： C
解析：
xy＋2lnx＝y⁴两端对x求导，得y＋xy′＋2/x＝4y³·y′。x＝1时，y＝1，y′（1）＝1，则切线方程为y－1＝x－1，即x－y＝0。
第23题：

单选题
设函数y＝y（x）由方程ln（x2＋y）＝x3y＋sinx确定，则（dy/dx）|x＝0＝（　　）。
A
0
B
1
C
2
D
e

正确答案： B
解析：
ln（x²＋y）＝x³y＋sinx两边同时对x求导，得（2x＋y′）/（x²＋y）＝3x²y＋x³y′＋cosx，当x＝0时，y＝1，代入上式得y′（0）＝1。
第24题：

填空题
设函数y＝y（x）由方程2xy＝x＋y所确定，则dy|x＝0＝____。

正确答案： (ln2-1)dx
解析：
2^xy＝x＋y等式两边求微分，得2^xyln2d（xy）＝dx＋dy，即2^xyln2（xdy＋ydx）＝dx＋dy。当x＝0时，y＝1，代入上式得dy|_x_＝₀＝（ln2－1）dx。

填空题设函数y＝y（x）由方程2xy＝x＋y所确定，则dy|x＝0＝____。

题目

相似考题

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