单选题向量组α1，α2，…，αs，线性无关的充分条件是（ ）.A α1，α2，…，αs均不为零向量B α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例C α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示D α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关
题目
α1，α2，…，αs均不为零向量
α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示
α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关
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第1题：
设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意常数k,l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2,α3线性无关的A.A必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充分必要条件
D.既非充分也非必要条件答案：A解析：
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第2题：
单选题设n维列向量组α1，α2，…，αm（m＜n）线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是（ ）.A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价
D矩阵A=（α1，…，αm）与矩阵B=（β1，…，βm）β）m
正确答案： C解析：
例如α1=（1，0，0，0），α2=（0，1，0，0），β1=（0，0，1，0），β2=（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关． -
第3题：
单选题n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。Aα1，α2，…，αs中没有零向量
B向量组的个数不大于维数，即s≤n
Cα1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
D某向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一
正确答案： D解析：
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。 -
第4题：
单选题设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX(→)＝0(→)仅有零解的充分条件是（ ）。AA的列向量组线性无关
BA的列向量组线性相关
CA的行向量组线性无关
DA的行向量组线性相关
正确答案： C解析：
因为AX＝0仅有零解的充分必要条件是A的秩r（A）＝n，所以A的列向量组线性无关是AX＝0仅有零解的充分条件。 -
第5题：
填空题已知向量组（α1，α3），（α1，α3，α4），（α2，α3，）都线性无关，而（α1，α2，α3，α4）线性相关，则向量组（α1，α2，α3，α4）的极大无关组是____.正确答案： (α1,α3,α4)解析：
向量组（α1，α2，α3，α4）线性相关，则其极大线性无关组最多含三个向量，又（α1，α3，α4）线性无关，故知（α1，α3，α4）为其极大线性无关组． -
第6题：
单选题下列说法不正确的是（ ）。As个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关
Bs个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关
Cs个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关
Ds个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关
正确答案： A解析：
A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；
B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；
C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；
D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的。 -
第7题：
单选题n维向量组，α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（3≤s≤n）线性无关的充要条件是（ ）。A存在一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使kα1＋k2α2＋…＋ksαs≠0
Bα1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关
Cα1，α2，…，αs中存在一个向量不能由其余向量线性表示
Dα1，α2，…，αs中任何一个向量都不能由其余向量线性表示
正确答案： C解析：
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其余向量表示，若向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示，则它们必线性无关；反之亦然。 -
第8题：
单选题设向量组α1，α2，…，αr（Ⅰ）是向量组α1，α2，…，αs（Ⅱ）的部分线性无关组，则（ ）.A（Ⅰ）是（Ⅱ）的极大线性无关组
Br（Ⅰ）=r（Ⅱ）
C当（Ⅰ）中的向量均可由（Ⅱ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
D当（Ⅱ）中的向量均可由（Ⅰ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
正确答案： B解析：
题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）=r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）=r（Ⅱ）． -
第9题：
设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s答案：A解析：由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即 -
第10题：
单选题向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。Aα1，α2，…，αs均不为零向量
Bα1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
Cα1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s－1个向量线性表示
Dα1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关
正确答案： C解析：
A项，均不为零的向量未必线性无关；
B项，例如α1＝（1，0，0）T，α2＝（0，1，0）T，α3＝（1，1，0）T，则其中任意两个向量的分量均不成比例，但向量组α1，α2，α3线性相关；
C项，反证法，如果α1，α2，…，αs线性相关，则至少有一个向量可由其余s－1个向量线性表示，与题设矛盾；
D项，向量组α1，α2，…，αs中部分向量线性无关时，未必全部向量线性无关。 -
第11题：
单选题n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充要条件是（ ）。A存在不全为0的k1，k2，…，ks使klα1＋k2α2＋…＋ksαs≠0
B添加向量β后，α1，α2，…，αs，β线性无关
C去掉任一向量αi后，α1，α2，…，αi－1，αi＋1，…，αs线性无关
Dα1，α2－α1，α3－α1，…，αs－α1线性无关
正确答案： C解析：
D项，相当于对α1，α2，…，αs构成的矩阵作初等变换，初等变换不改变向量组的秩和向量组的线性相关性。 -
第12题：
单选题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（ ）。A必定r＜s
B向量组中任意个数小于r的部分组线性无关
C向量组中任意r个向量线性无关
D若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关
正确答案： A解析：
A项，r可能与s相等；
B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。 -
第13题：
单选题设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（ ）.Ar＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Br＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Cr＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
Dr＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
正确答案： B解析：
设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性． -
第14题：
问答题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明： （1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组； （2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。正确答案：
(1)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以αj1,αj2,…,αjr,αi(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
(2)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。解析： 暂无解析 -
第15题：
单选题设n维向量组（Ⅰ）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，（Ⅱ）β(→)1，β(→)2，…，β(→)t线性无关，且α(→)i不能由（Ⅱ）线性表示（i＝1，2，…，s），且β(→)j不能由（Ⅰ）线性表示（j＝1，2，…，t），则向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s，β(→)1，β(→)2，…，β(→)t（ ）。A一定线性相关
B一定线性无关
C可能线性相关，也可能线性无关
D既不线性相关，也不线性无关
正确答案： C解析：
设（Ⅰ）：α1＝（1，0，0），α2＝（1，1，0），（Ⅱ）：β1＝（0，0，1），β2＝（0，1，1）。则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）各自线性无关，但α1，α2，β1，β2线性相关；
令（Ⅱ）：β1＝（0，0，1），α1，α2，β1也满足条件，但α1，α2，β1线性无关。 -
第16题：
单选题设n维列向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m（m＜n）线性无关，则n维列向量组β(→)1，β(→)2，…，β(→)m线性无关的充分必要条件是（ ）。A向量组α1，α2，…，αm可以由β1，β2，…，βm线性表示
B向量组β1，β2，…，βm可以由α1，α2，…，αm线性表示
C向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价
D矩阵A＝（α1，α2，…，αm）与矩阵B＝（β1，β2，…，βm）等价
正确答案： D解析：
例如α1＝（1，0，0，0），α2＝（0，1，0，0），β1＝（0，0，1，0），β2＝（0，0，0，1），各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，也就不可能有等价关系，排除A、B、C项；
D项，矩阵A与矩阵B等价，则它们的秩相等，故向量组β1，β2，…，βm线性无关。