填空题y″－4y＝e2x的通解为____。

题目
填空题
y″－4y＝e2x的通解为____。
相似考题

1.求微分方程y″+4y′= 2ex的通解．（6分）

2.若2x=3，4y=5，则2x-2y的值为：

3.设函数y=e2x，则y"(0)=_____．

4.微分方程y′-3y =O的通解为______.

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  • 第1题：

    在下列微分方程中，以函数y＝C1e^－x＋C2e^4x（C1，C2为任意常数）为通解的微分方程是（　　）。

    A． y″＋3y′－4y＝0
    B． y″－3y′－4y＝0
    C． y″＋3y′＋4y＝0
    D． y″＋y′－4y＝0

    答案：B
    解析：

    由题意知，二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的两个根为－1和4，只有B项满足。
    【总结】求二阶常系数齐次线性微分方程y″＋py′＋qy＝0的通解的步骤：
    ①写出微分方程的特征方程r2＋pr＋q＝0；
    ②求出特征方程的两个根r1，r2；
    ③根据r1，r2的不同情形，写出微分方程的通解：
    a．当r1≠r2，



    b．当r1＝r2，



    c．一对共轭复根r1，2＝α±βi，y＝eαx（C1cosβx＋C2sinβx）。

  • 第2题：

    微分方程y′+y=0的通解为（ ）.《》（ ）


    答案：D
    解析：

  • 第3题：

    微分方程y''-4y=4的通解是（ ）（C1,C2为任意常数)。


    答案：B
    解析：
    提示：显然C不是通解；对应齐次方程的通解为C1e2x+C2e-2x ,y=-1是一个特解，故应选B。

  • 第4题：

    若y=e2x，则dy=_________．


    答案：
    解析：
    【答案】2e2xdx【考情点拨】本题考查了复合函数求导的知识点．

  • 第5题：

    下列结论不正确的是（）。

    • A、y"+y=ex的一个特解的待定形式为y*=Aex
    • B、y"+y=sinx的一个特解的待定形式为y*=x（c1cosx+c2sinx）
    • C、y"-4y’+4y=e2x的一个特解的待定形式为y*=Axe2x
    • D、D.y"-4y’+4y=x2的一个特解的待定形式为y*-（Ax2+Bx+x

    正确答案:D

  • 第6题：

    填空题
    微分方程xy″＋3y′＝0的通解为____。

    正确答案： y=-c1/(2x2)+c2
    解析：
    原微分方程为xy″＋3y′＝0，令y′＝p，则y″＝p′，则原方程变形为xp′＝－3p，即dp/dx＝－3p/x，分离变量并两边积分得∫（dp/p）＝－∫（3/x）dx，ln|p|＝－3ln|x|＋ln|c|，p＝c1x－3，即y′＝c1/x3。故y＝－c1/（2x2）＋c2，此即为原微分方程的通解。

  • 第7题：

    单选题
    y″－4y＝e2x的通解为（　　）。
    A

    y＝C1e－2x－（C2＋x/4）e－2x（其中C1，C2为任意常数）

    B

    y＝C1e－2x＋（C2＋x/4）e2x（其中C1，C2为任意常数）

    C

    y＝C1e－2x＋（C2＋x/4）e－2x（其中C1，C2为任意常数）

    D

    y＝C1e－2x－（C2＋x/4）e2x（其中C1，C2为任意常数）


    正确答案： D
    解析：
    原方程为y″－4y＝e2x，其齐次方程对应的特征方程为r2－4＝0，解得r1，2＝±2，故其对应的齐次方程y″－4y＝0的通解为y1＝C1e－2x＋C2e2x。因为非齐次方程右端的非齐次项为e2x，2为特征方程的单根，故原方程特解可设为y*＝Axe2x，代入原方程得A＝1/4，故原方程的通解为y＝y1＋y*＝C1e－2x＋C2e2x＋xe2x/4，其中C1，C2为任意常数。

  • 第8题：

    单选题
    下列结论不正确的是（）。
    A

    y+y=ex的一个特解的待定形式为y*=Aex

    B

    y+y=sinx的一个特解的待定形式为y*=x（c1cosx+c2sinx）

    C

    y-4y’+4y=e2x的一个特解的待定形式为y*=Axe2x

    D

    D.y-4y’+4y=x2的一个特解的待定形式为y*-（Ax2+Bx+x


    正确答案： A
    解析： y"+y=0的特征根为λ=±i，故（A）、（B）的特解的形式均正确，y"-4y’+4y=0的特征方程为λ2-4λ+4=0，（λ-2）2=0，有一个二重根λ1,2=2，故（C）的特解的形式正确，而（D）不正确。

  • 第9题：

    填空题
    y″－4y＝e2x的通解为____。

    正确答案： y=C1e-2x+(C2+x/4)e2x(其中C1,C2为任意常数)
    解析：
    原方程为y″－4y＝e2x，其齐次方程对应的特征方程为r2－4＝0，解得r1，2＝±2，故其对应的齐次方程y″－4y＝0的通解为y1＝C1e－2x＋C2e2x。因为非齐次方程右端的非齐次项为e2x，2为特征方程的单根，故原方程特解可设为y*＝Axe2x，代入原方程得A＝1/4，故原方程的通解为y＝y1＋y*＝C1e－2x＋C2e2x＋xe2x/4。

  • 第10题：

    填空题
    微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为____。

    正确答案： y=c1/x3+c2x+x3/12
    解析：
    原微分方程为x2y″＋3xy′－3y＝x3，其欧拉方程形式为D（D－1）y＋3Dy－3y＝e3t，即D2y＋2Dy－3y＝e3t，即d2y/dt2＋2dy/dt－3y＝e3t 。解得其通解为y＝c1e－3t＋c2et＋e3t/12，即y＝c1/x3＋c2x＋x3/12。

  • 第11题：

    单选题
    已知y1＝cos2x－xcos2x/4，y2＝sin2x－xcos（2x）/4是某二阶常系数线性非齐次方程的两个解，则该方程为（　　）。
    A

    y″＋4y＝sin2x

    B

    y″－4y＝sin2x

    C

    y′＋4y＝sin2x

    D

    y′－4y＝sin2x


    正确答案： A
    解析：
    由解的结构可知，y1－y2＝cos2x－sin2x是原方程所对应的齐次方程的解，故y(＿)1＝cos2x，y(＿)2＝sin2x是齐次方程的两个线性无关解，且齐次方程对应的特征方程的根为±2i，则其特称方程为r2＋4＝0。故齐次方程为y″＋4y＝0。而y*＝－xcos2x/4为所求非齐次方程的一个特解，设所求非齐次方程为y″＋4y＝f（x），将该特解代入得f（x）＝－（1/4）（－4sin2x－4xcos2x）＋4[－xcos（2x）/4]＝sin2x。则所求非齐次方程为y″＋4y＝sin2x。

  • 第12题：

    单选题
    微分方程y″－4y′＋5y＝0的通解为（　　）。
    A

    ex（C1cos2x＋C2sin2x）

    B

    C1e－x＋C2e5x

    C

    e2x（C1cosx＋C2sinx）

    D

    C1ex＋Ce－5x


    正确答案： B
    解析：
    原微分方程为齐次方程，其对应的特征方程为r2－4r＋5＝0，解得r＝2±i。故方程通解为y＝e2x（C1cosx＋C2sinx）。

  • 第13题：

    微分方程y′′-4y=4的通解是(C1，C2为任意常数）：

    A.C1e2x-C2e-2x+1
    B. C1e2x+C2e-2x-1
    C.e2x-e-2x+1
    D. C1e2x+C2e-2x-2

    答案：B
    解析：

  • 第14题：

    微分方程y″-4y=4的通解是( )。(c1，c2为任意常数)

    A.
    B.
    C.e2x-e-2x+1
    D.c1e2x+c2e-2x-2

    答案：B
    解析：

  • 第15题：

    求函数f(x，y)=e2x(x+y2+2y)的极值.?


    答案：
    解析：

  • 第16题：

    二阶常系数齐次微分方程y″-4y′+4y=0的通解为_____．


    答案：
    解析：

  • 第17题：

    填空题
    微分方程y″＋[2/（1－y）]（y′）2＝0的通解为____。

    正确答案： y=1-1/(c1x+c2)
    解析：
    原微分方程为y″＋[2/（1－y）]（y′）2＝0，令y′＝p，则y″＝pdp/dy，原方程变形为pdp/dy＋2p2/（1－y）＝0，即p[dp/dy＋2p/（1－y）]＝0。如果p＝0，则y＝c，这不是此方程的通解。如果p≠0，则有dp/dy＝2p/（y－1），分离变量并积分得ln|p|＝2ln|y－1|＋ln|c|，p＝c1（y－1）2 即 dy/dx＝c1（y－1）2故∫dy/（y－1）2＝∫c1dx⇒－1/（y－1）＝c1x＋c2⇒y＝1－1/（c1x＋c2）。

  • 第18题：

    填空题
    方程dy/dx＋y＝y2的通解为____。

    正确答案： y=1/(Cex+1)
    解析：
    原方程为dy/dx＋y＝y2，令1/y＝u，则－（1/y2）dy/dx－1/y＝－1，即du/dx－u＝－1，故u＝e∫dx[－∫e－∫dxdx＋C]＝ex（e－x＋C）＝Cex＋1。故方程的通解为y＝1/（Cex＋1）。

  • 第19题：

    单选题
    在下列微分方程中，以y＝C1ex＋C2cos2x＋C3sin2x（C1，C2，C3为任意常数）为通解的是（　　）。
    A

    y‴＋y″－4y′－4y＝0

    B

    y‴＋y″＋4y′＋4y＝0

    C

    y‴－y″－4y′＋4y＝0

    D

    y‴－y″＋4y′－4y＝0


    正确答案： D
    解析：
    根据题设中通解的形式可知，所求齐次方程中对应的特征根为r1＝1，r2，3＝±2i。故特征方程为（r－1）（r－2i）（r＋2i）＝0即r3－r2＋4r－4＝0，则所求微分方程为y‴－y″＋4y′－4y＝0。

  • 第20题：

    填空题
    已知y1＝x为微分方程x2y″－2xy′＋2y＝0之一解，则此方程的通解为____。

    正确答案： y=c1x+c2x2
    解析：
    设与y2是与y1线性无关的一个特解，则y2′＝u＋xu′，y2″＝2u′＋xu″，其代入x2y″－2xy′＋2y＝0中，得2x2u′＋x3u″－2xu－2x2u′＋2xu＝0，即x3u″＝0。u″＝0，得u＝x，即y2＝x2。故原方程的通解为y＝c1x＋c2x2。

  • 第21题：

    填空题
    微分方程y′＝y（1－x）/x的通解是____。

    正确答案： y=Cxe-x
    解析：
    原微分方程y′＝y（1－x）/x。分离变量得dy/y＝（1/x－1）dx。两边分别积分得ln|y|＝ln|x|－x＋lnC1，即y＝Cxe－x。

  • 第22题：

    填空题
    方程y′＝（sinlnx＋coslnx＋a）y的通解为____。

    正确答案： ln,y,=xsin(lnx)+ax+C
    解析：
    原方程为y′＝（sinlnx＋coslnx＋a）y，分离变量并积分得lny＝ax＋∫（sinlnx＋coslnx）dx＝∫xcoslnxdlnx＋∫sinlnxdx＝∫xd（sinlnx）＋∫sinlnxdx＝xsinlnx＋C。故原方程的通解为ln|y|＝xsinlnx＋ax＋C。

  • 第23题：

    填空题
    方程y‴＝x＋ex的通解为____。

    正确答案： y=ex+x4/24+C1x2+C2x+C3
    解析：
    原方程为y‴＝x＋ex，方程两边对x积分得y″＝ex＋x2/2＋C，以上方程两边再次对x积分得y′＝ex＋x3/6＋Cx＋C2，故原方程的通解为y＝ex＋x4/24＋C1x2＋C2x＋C3（C1＝C/2）。

  • 第24题：

    填空题
    方程xdy/dx＝yln（y/x）的通解为____。

    正确答案： ln(y/x)=Cx+1
    解析：
    原微分方程为xdy/dx＝yln（y/x），即dy/dx＝（y/x）ln（y/x）。令y/x＝u，则dy/dx＝u＋xdu/dx，即xdu/dx＝u（lnu－1），分离变量并两边分别积分得ln|lnu－1|＝ln|x|＋lnC1，即方程的通解为lnu＝Cx＋1，ln（y/x）＝Cx＋1。

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