填空题方程y‴＝x＋ex的通解为____。
题目
填空题
方程y‴＝x＋ex的通解为____。
相似考题
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第1题：
方程y'=f(x)y的通解是：
答案：D解析：提示 方程y'=f(x)y为一阶可分离变量方程。
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第2题：
方程y"=e2x-cosx的通解为( )。
答案：D解析：对方程积分两次，得
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第3题：
微分方程y''=y'2的通解是（ ）（C1、C2为任意常数）。
答案：D解析：提示：这是不显含y可降阶微分方程，令p=y',则dp/dx=y'',用分离变量法求解得，-y'=1/(x+C1) ，两边积分，可得y=C2-ln x+C1 ，故应选D,也可采用检验的方式。 -
第4题：
微分方程y'=x的通解为（）
答案：C解析：
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第5题：
微分方程y''+y=0的通解是 .答案：解析：【考情点拨】本题考查了二阶线性微分方程的通解知识点.【应试指导】微分方程y''+y=0的特征方程是r2+1=0. -
第6题：
微分方程y′-2xy=0的通解为y=_____.答案：解析：所给方程为可分离变量方程．
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第7题：
填空题微分方程y″＋[2/（1－y）]（y′）2＝0的通解为____。正确答案： y=1-1/(c1x+c2)解析：
原微分方程为y″＋[2/（1－y）]（y′）2＝0，令y′＝p，则y″＝pdp/dy，原方程变形为pdp/dy＋2p2/（1－y）＝0，即p[dp/dy＋2p/（1－y）]＝0。如果p＝0，则y＝c，这不是此方程的通解。如果p≠0，则有dp/dy＝2p/（y－1），分离变量并积分得ln|p|＝2ln|y－1|＋ln|c|，p＝c1（y－1）2 即 dy/dx＝c1（y－1）2故∫dy/（y－1）2＝∫c1dx⇒－1/（y－1）＝c1x＋c2⇒y＝1－1/（c1x＋c2）。 -
第8题：
填空题微分方程xy″＋3y′＝0的通解为____。正确答案： y=-c1/(2x2)+c2解析：
原微分方程为xy″＋3y′＝0，令y′＝p，则y″＝p′，则原方程变形为xp′＝－3p，即dp/dx＝－3p/x，分离变量并两边积分得∫（dp/p）＝－∫（3/x）dx，ln|p|＝－3ln|x|＋ln|c|，p＝c1x－3，即y′＝c1/x3。故y＝－c1/（2x2）＋c2，此即为原微分方程的通解。 -
第9题：
填空题已知y1＝x为微分方程x2y″－2xy′＋2y＝0之一解，则此方程的通解为____。正确答案： y=c1x+c2x2解析：
设与y2是与y1线性无关的一个特解，则y2′＝u＋xu′，y2″＝2u′＋xu″，其代入x2y″－2xy′＋2y＝0中，得2x2u′＋x3u″－2xu－2x2u′＋2xu＝0，即x3u″＝0。u″＝0，得u＝x，即y2＝x2。故原方程的通解为y＝c1x＋c2x2。 -
第10题：
填空题微分方程x2y″＋3xy′－3y＝x3的通解为____。正确答案： y=c1/x3+c2x+x3/12解析：
原微分方程为x2y″＋3xy′－3y＝x3，其欧拉方程形式为D（D－1）y＋3Dy－3y＝e3t，即D2y＋2Dy－3y＝e3t，即d2y/dt2＋2dy/dt－3y＝e3t 。解得其通解为y＝c1e－3t＋c2et＋e3t/12，即y＝c1/x3＋c2x＋x3/12。 -
第11题：
填空题方程y‴＝x＋ex的通解为____。正确答案： y=ex+x4/24+C1x2+C2x+C3解析：
原方程为y‴＝x＋ex，方程两边对x积分得y″＝ex＋x2/2＋C，以上方程两边再次对x积分得y′＝ex＋x3/6＋Cx＋C2，故原方程的通解为y＝ex＋x4/24＋C1x2＋C2x＋C3（C1＝C/2）。 -
第12题：
填空题方程xdy/dx＝yln（y/x）的通解为____。正确答案： ln(y/x)=Cx+1解析：
原微分方程为xdy/dx＝yln（y/x），即dy/dx＝（y/x）ln（y/x）。令y/x＝u，则dy/dx＝u＋xdu/dx，即xdu/dx＝u（lnu－1），分离变量并两边分别积分得ln|lnu－1|＝ln|x|＋lnC1，即方程的通解为lnu＝Cx＋1，ln（y/x）＝Cx＋1。 -
第13题：
微分方程xy'-ylny=0的通解为( )。A、y=cex
B、y=clnx
C、y=lncx
D、y=ecx答案：D解析：方程是可分离变量的方程，可化为
，两边积分得lnlny=lnx+lnc，即其通为y=ecx -
第14题：
微分方程y′+y=0的通解为（ ）.《》（ ）
答案：D解析：
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第15题：
微分方程y'＋x=0的通解为
答案：D解析：[解析]所给方程为可分离变量方程．
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第16题：
微分方程y′′+6y′+13y=0的通解为.答案：解析：【答案】
【考情点拨】本题考查了二阶线性齐次微分方程的通解的知识点.
【应试指导】微分方程y''+6y'+13y=0的特征方程
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第17题：
微分方程y'=1的通解为（）A.y=x
B.y=Cx
C.y=C-x
D.y=C+x答案：D解析：
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第18题：
微分方程y'+y=0的通解为y=[]A.e-x+C
B.-e-x+C
C.Ce-x
D.Cex答案：C解析：所给方程为可分离变量方程．
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第19题：
填空题若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C1＋C2x）ex，则非齐次方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝____。正确答案： -xex+x+2解析：
由题意可知，r＝1是已知齐次方程对应的特征方程的二重根，则该特征方程为（r－1）2＝r2－2r＋1＝0，齐次方程为y″－2y′＋y＝0设y*＝Ax＋B为已知非齐次方程y″－2y′＋y＝x的特解，代入y″－2y′＋y＝x得0－2A＋Ax＋B＝x，则A＝1，B＝2A＝2。故已知非齐次方程的通解为y＝（C1＋C2x）ex＋x＋2。又y（0）＝2，y′（0）＝0，代入以上通解得C1＝0，C2＝－1。故所求方程特解为y＝－xex＋x＋2。 -
第20题：
填空题方程dy/dx＋y＝y2的通解为____。正确答案： y=1/(Cex+1)解析：
原方程为dy/dx＋y＝y2，令1/y＝u，则－（1/y2）dy/dx－1/y＝－1，即du/dx－u＝－1，故u＝e∫dx[－∫e－∫dxdx＋C]＝ex（e－x＋C）＝Cex＋1。故方程的通解为y＝1/（Cex＋1）。 -
第21题：
填空题微分方程y′＝y（1－x）/x的通解是____。正确答案： y=Cxe-x解析：
原微分方程y′＝y（1－x）/x。分离变量得dy/y＝（1/x－1）dx。两边分别积分得ln|y|＝ln|x|－x＋lnC1，即y＝Cxe－x。 -
第22题：
填空题方程y′＝（sinlnx＋coslnx＋a）y的通解为____。正确答案： ln,y,=xsin(lnx)+ax+C解析：
原方程为y′＝（sinlnx＋coslnx＋a）y，分离变量并积分得lny＝ax＋∫（sinlnx＋coslnx）dx＝∫xcoslnxdlnx＋∫sinlnxdx＝∫xd（sinlnx）＋∫sinlnxdx＝xsinlnx＋C。故原方程的通解为ln|y|＝xsinlnx＋ax＋C。 -
第23题：
填空题欧拉方程x2d2y/dx2＋4xdy/dx＋2y＝0（x＞0）的通解为____。正确答案： c1/x+c2/x2(其中c1,c2为任意常数)解析：
原方程为x2d2y/dx2＋4xdy/dx＋2y＝0。令x＝et，则原方程可化为D（D－1）y＋4Dy＋2y＝0，即d2y/dt2＋3dy/dt＋2y＝0。其相应的特征方程为r2＋3r＋2＝（r＋1）（r＋2）＝0，解得r1＝－1，r2＝－2。故变形后的方程得通解为Y＝c1e－t＋c2e－2t，则原方程的通解为Y＝c1/x＋c2/x2其中c1，c2为任意常数。 -
第24题：
填空题曲线y＝x＋ex在x＝0处的切线方程是____．正确答案： 2x-y+1=0解析：
因为y′＝1＋ex，故y′|x＝0＝1＋e0＝2．
当x＝0时，y＝1，所以切线方程为y－1＝2（x－0）．
即2x－y＋1＝0．