单选题若向量组α(→)、β(→)、γ(→)线性无关，α(→)、β(→)、δ(→)线性相关，则（ ）。A α(→)必可由β(→)、γ(→)、δ(→)线性表示B β(→)必可由α(→)、γ(→)、δ(→)线性表示C δ(→)可由α(→)、β(→)、γ(→)线性表示D δ(→)必不可由α(→)、β(→)、γ(→)线性表示
题目
单选题
若向量组α(→)、β(→)、γ(→)线性无关，α(→)、β(→)、δ(→)线性相关，则（ ）。
A
α必可由β、γ、δ线性表示
B
β必可由α、γ、δ线性表示
C
δ可由α、β、γ线性表示
D
δ必不可由α、β、γ线性表示
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第1题：
若向量组α，β，γ线性无关α，β，δ线性相关，则( )。A.α必可由β，γ，δ线性表示
B.β必不可由α，γ，δ线性表示
C.δ必可由α，β，γ线性表示
D.δ必不可由α，γ，β线性表示答案：C解析： -
第2题：
设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。A.若向量组I线性无关．则r≤S
B.若向量组I线性相关，则r>s
C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s答案：A解析：由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即 -
第3题：
若向量组α、β、γ线性无关，α、β，δ线性相关，则（ ）.《》（ ）A.α必可由β、γ、δ线性表示
B.β必可由α、γ、δ线性表示
C.δ可由α、β、γ线性表示
D.δ必不可由α、β、γ线性表示答案：C解析：
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第4题：
单选题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r（Ⅰ）是向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s（Ⅱ）的部分线性无关组，则（ ）。A（Ⅰ）是（Ⅱ）的极大线性无关组
Br（Ⅰ）＝r（Ⅱ）
C当（Ⅰ）中的向量均可由（Ⅱ）线性表示时，r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）
D当（Ⅱ）中的向量均可由（Ⅰ）线性表示时，r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）
正确答案： D解析：
题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）＝r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）＝r（Ⅱ）。 -
第5题：
单选题设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示。记向量组（Ⅱ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1，β(→)，则（ ）。Aαm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
Bαm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
Cαm可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
Dαm可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示
正确答案： A解析：
向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，不能由向量组α1，α2，…，αm－1线性表示，则设β＝k1α1＋k2α2＋…＋km－1αm－1＋kmαm，且km≠0，αm＝β/km－k1α1/km－…－km－1αm－1/km，说明αm可由向量组β，α1，α2，…，αm－1，线性表示，不可由向量组α1，α2，…，αm－1线性表示。 -
第6题：
单选题若向量组α(→)、β(→)、γ(→)线性无关，α(→)、β(→)、δ(→)线性相关，则（ ）。Aα必可由β、γ、δ线性表示
Bβ必可由α、γ、δ线性表示
Cδ可由α、β、γ线性表示
Dδ必不可由α、β、γ线性表示
正确答案： C解析：
因为α，β，δ线性相关，故α，β，γ，δ线性相关，设存在数k1，k2，k3，k4，使k1α＋k2β＋k3γ＋k4δ＝0，则k4≠0，否则α，β，γ线性相关，故δ可由α，β，γ线性表示。 -
第7题：
单选题设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（）。Aβ必可用α1，α2线性表示
Bα1必可用α2，α3，β线性表示
Cα1，α2，α3必线性无关
Dα1，α2，α3必线性相关
正确答案： B解析： 暂无解析 -
第8题：
问答题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明： （1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组； （2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。正确答案：
(1)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以αj1,αj2,…,αjr,αi(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
(2)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。解析： 暂无解析 -
第9题：
设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则A.当r
C.当r答案：D解析：
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第10题：
A.（Ⅰ）是（Ⅱ）的极大线性无关组
B.r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
C.当（Ⅰ）中的向量均可由（Ⅱ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
D.当（Ⅱ）中的向量均可由（Ⅰ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）答案：D解析：题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）=r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）=r（Ⅱ）. -
第11题：
设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（）。
- A、β必可用α1，α2线性表示
- B、α1必可用α2，α3，β线性表示
- C、α1，α2，α3必线性无关
- D、α1，α2，α3必线性相关
正确答案:B -
第12题：
单选题设α1，α2，α3，β是n维向量组，已知α1，α2，β线性相关，α2，α3，β线性无关，则下列结论中正确的是（ ）。[2012年真题]Aβ必可用α1，α2线性表示
Bα1必可用α2，α3，β线性表示
Cα1，α2，α3必线性无关
Dα1，α2，α3必线性相关
正确答案： D解析：
由α1，α2，β线性相关知，α1，α2，α3，β线性相关。再由α2，α3，β线性无关， α1必可用α2，α3，β线性表示。 -
第13题：
单选题设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组（Ⅱ）:α1，α2，…，αm-1，β，则（ ）.Aαm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
Bαm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
Cαm可以由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
Dαm可由（Ⅰ）线性表示，不可由（Ⅱ）线性表示
正确答案： C解析：
若αm可由向量组（Ⅰ）线性表示，则β也可由向量组（Ⅰ）线性表示，与题设矛盾，故αm不能由（Ⅰ）线性表示；由β可由α1，α2，…，αm线性表示，知存在一组数k1，k2，…，km，使β=k1α1+k2α2+…+kmαm，且km≠0，否则β就能由（Ⅰ）线性表示，所以αm可由向量组（Ⅱ）． -
第14题：
单选题设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（ ）.Ar＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Br＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Cr＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
Dr＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
正确答案： B解析：
设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性． -
第15题：
单选题设向量组α(→)1，α(→)2，α(→)3线性无关，向量β(→)1可由α(→)1，α(→)2，α(→)3线性表示，而向量β(→)2不能由α(→)1，α(→)2，α(→)3线性表示，则对任意常数，必有（ ）。Aα1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关
Bα1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关
Cα1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关
Dα1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关
正确答案： D解析：
取k＝0则可排除B，C选项，取k＝1则可排除D选项。或根据定义证明α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关。