单选题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（　　）。A 当m＞n时，必有｜AB｜≠0B 当m＞n时，必有｜AB｜＝0C 当n＞m时，必有｜AB｜≠0D 当n＞m时，必有｜AB｜＝0

题目
单选题
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（　　）。
A

当m＞n时，必有｜AB｜≠0

B

当m＞n时，必有｜AB｜＝0

C

当n＞m时，必有｜AB｜≠0

D

当n＞m时，必有｜AB｜＝0

相似考题

1.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.

2.设A是m×n矩阵,且m>n,下列命题正确的是().

3.设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m B.r=m C.rD.r≥m

4.某大型整数矩阵用二维整数组 G[1：2M ，l：2N]表示，其中M和N是较大的整数，而且每行从左到右都己是递增排序，每到从上到下也都己是递增排序。元素G[M，N]将该矩阵划分为四个子矩阵A[1：M，1：N]，B[1:M，(N+1):2N]，C[(M+1）:2M，1:N ]，D[(M+1）:2M，(N+1):2N]。如果某个整数E大于A[M，N]，则E（ ）。A.只可能在子矩阵A中B.只可能在子矩阵B或C中C.只可能在子矩阵B、C或D中D.只可能在子矩阵D中

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  • 第1题：

    设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r1，矩阵B=AC的秩为r，则



    答案：C
    解析：

  • 第2题：

    设A为m×n矩阵，B为s×n矩阵.证明：.


    答案：
    解析：

  • 第3题：

    设A是m×n阶矩阵,若A^TA=O,证明：A=0.


    答案：
    解析：
    【证明】因为r(A)=r(A^TA)，而A^TA=O，所以r(A)=0，于是A=O.

  • 第4题：

    设A为n×m矩阵,B为m×n矩阵(m>n),且AB=E.证明：B的列向量组线性无关.


    答案：
    解析：
    【证明】首先r(B)≤min{m，n）=n，由AB=E得r(AB)=n，而，.(AB)≤r(B)，所以r(B)≥n，从而r(B)=n，于是B的列向量组线性无关.

  • 第5题：

    设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，
    A.- A B B. A B
    C. (-1)m+n A B D. (-1)mn

    A B

    答案：D
    解析：

  • 第6题：

    设A和B均为n阶矩阵(n>1)，m是大于1的整数，则必有(　　)。


    答案：C
    解析：
    本题考查矩阵运算的相关性质。

  • 第7题：

    若A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则（ ）.

    A.当m＞n时ABX=0必有非零解
    B.当m＞n时AB必可逆
    C.当n＞m时ABX=0只有零解
    D.当n＞m时必有r（AB）＜m

    答案：A
    解析：
    r（AB）≤r（A）≤n＜m，AB是m阶方阵，由于系数矩阵的秩小于未知数的个数，故ABX=0有非零解.

  • 第8题：

    单选题
    设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（　　）。
    A

    r（A）＝m，r（B）＝m

    B

    r（A）＝m，r（B）＝n

    C

    r（A）＝n，r（B）＝m

    D

    r（A）＝n，r（B）＝n


    正确答案： C
    解析：
    设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
    由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。

  • 第9题：

    单选题
    设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
    A

    r＞r1

    B

    r＜r1

    C

    r＝r1

    D

    r与r1的关系依C而定


    正确答案： A
    解析：
    由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
    且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。

  • 第10题：

    填空题
    设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB=0，则A=____.

    正确答案： 0
    解析：
    取基本单位向量组为ε1，ε2，…εn
    当m=n时，由对任意B都有AB=0，则对B=（ε1，ε2，…εn）=En也成立，即AE=0，故A=0．
    当m>n时，取B=（ε1，ε2，…εn，B1）=（En，B1），则由AB=A（En，B1）=0，知AEn=0，故A=0．

  • 第11题：

    单选题
    若A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则（　　）。
    A

    当m＞n时，ABX(→)＝0(→)必有非零解

    B

    当m＞n时，AB必可逆

    C

    当n＞m时，ABX(→)＝0(→)只有零解

    D

    当n＞m时，必有r（AB）＜m


    正确答案： A
    解析：
    r（AB）≤r（A）≤n＜m，AB是m阶方阵，由于系数矩阵的秩小于未知数的个数，故ABX(→)＝0(→)有非零解。

  • 第12题：

    单选题
    设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（　　）.
    A

    当m＞n时，必有%7cAB%7c≠0

    B

    当m＞n时，必有%7cAB%7c=0

    C

    当n＞m时，必有%7cAB%7c≠0

    D

    当n＞m时，必有%7cAB%7c=0


    正确答案： D
    解析：
    因r（AB）≤min[r（A），r（B）]≤min（m，n），且AB为m×m矩阵，则当m＞n时，由r（AB）≤n，知AB为不可逆矩阵，故必有|AB|=0．

  • 第13题：

    设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（ ）


    A.r(A)=r(B)=m
    B.r(A)=m r(B)=n
    C.r(A)=n r(B)=m
    D.r(A)=r(B)=n

    答案：A
    解析：

  • 第14题：

    设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，


    答案：
    解析：

  • 第15题：

    设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,


    答案：
    解析：

  • 第16题：

    设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则



    A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
    B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
    C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
    D.秩r(A)=n，秩r(B)=n

    答案：A
    解析：
    本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)

  • 第17题：

    若M、N均为n阶矩阵，则必有( )。

    A、|M+N|=|M|+|N|
    B、|MN|=|NM|
    C、(MN)′=M′N′
    D、(M+N)2=M2+2MN+N2

    答案：B
    解析：

  • 第18题：

    设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于（ ）。


    答案：D
    解析：

  • 第19题：

    设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ ）.《》（ ）

    A.r（A）=m，r（B）=m
    B.r（A）=m，r（B）=n
    C.r（A）=n，r（B）=m
    D.r（A）=n，r（B）=n

    答案：A
    解析：
    设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m.

  • 第20题：

    问答题
    设A是n阶矩阵，且满足Am＝E，其中m为整数，E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(～)，证明：（A(～)）m＝E。

    正确答案：
    因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
    由题知A(~)=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A(~))m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。
    解析： 暂无解析

  • 第21题：

    单选题
    设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB＝0，则A＝（　　）。
    A

    0

    B

    1

    C

    2

    D

    3


    正确答案： A
    解析：
    取基本单位向量组为ε(→)1，ε(→)2，…，ε(→)n。
    当m＝n时，由对任意B都有AB＝0，则对B＝（ε(→)1，ε(→)2，…，ε(→)n）＝En也成立，即AE＝0，故A＝0。
    当m＞n时，取B＝（ε(→)1，ε(→)2，…，ε(→)n，B(→)1）＝（En，B(→)1），则由AB＝A（En，B(→)1）＝0，知AEn＝0，故A＝0。

  • 第22题：

    单选题
    设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则（　　）。
    A

    r＞r1

    B

    r＜rl

    C

    r＝rl

    D

    r与r1的关系依C而定


    正确答案： A
    解析：
    由r1＝r（B）≤min[r（A），r（C）]＝r（A）＝r。
    且A＝BC－1，故r＝r（BC－1）≤min[r（B），r（C－1）]＝r（B）＝r1，所以有r＝r1。

  • 第23题：

    问答题
    设A为m×n矩阵（n＜m），且AX＝b有唯一解，证明：矩阵ATA为可逆矩阵，且方程组AX(→)＝b(→)的解为X(→)＝（ATA）－1ATb(→)（AT为A的转置矩阵）。

    正确答案：
    由AX(→)=b(→)有唯一解知r(A)=r(A┆b(→))=n,因此AX(→)=0(→)只有零解。
    若r(ATA)TAX(→)=0(→)有非零解,即存在X(→)0≠0使ATAX(→)0=0(→)。所以有X(→)0TATAX(→)0=(AX(→)0)TAX(→)0=0(→),即AX(→)0=0(→)。于是方程组AX(→)=0(→)有非零解,这与AX(→)=0(→)只有零解矛盾,故r(ATA)=n,即ATA可逆。
    由AX(→)=b(→)得,ATAX(→)=ATb(→),有X(→)=(ATA)-1ATb(→)。如果η(→)1,η(→)2,…,η(→)t是线性方程组AX(→)=b(→)的解,则u1η(→)1+u2η(→)2+…+utη(→)t也是AX(→)=b(→)的一个解。其中u1+u2+…+ut=1。
    因为η(→)1,η(→)2,…,η(→)t是AX(→)=b(→)的解,所以η(→)2-η(→)1,η(→)3-η(→)1,…,η(→)t-η(→)1是AX(→)=0(→)的解。
    由u1+u2+…+ut=1,得u1=1-u2-u3…-ut,所以有u1η(→)1+u2η(→)2+…+utη(→)t=(1-u2-u3-…-ut)η(→)1+u2η(→)2+…+utη(→)t=η(→)1+u2(η(→)2-η(→)1)+u3(η(→)3-η(→)1)+…+ut(η(→)t-η(→)1),即u1η(→)1+u2η(→)2+…+utη(→)t也是AX(→)=b(→)的解。
    解析： 暂无解析

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