单选题设函数y1（x）、y2（x）、y3（x）线性无关，且都是二阶非齐次线性方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，又c1与c2为任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为（　　）。A c1y1＋c2y2＋y3B c1y1＋c2y2－（c2＋c1）y3C c1y1＋c2y2－（1－c1－c2）y3D c1y1＋c2y2＋（1－c1－c2）y3

题目

单选题

设函数y1（x）、y2（x）、y3（x）线性无关，且都是二阶非齐次线性方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，又c1与c2为任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为（　　）。

c₁y₁＋c₂y₂＋y₃

c₁y₁＋c₂y₂－（c₂＋c₁）y₃

c₁y₁＋c₂y₂－（1－c₁－c₂）y₃

c₁y₁＋c₂y₂＋（1－c₁－c₂）y₃

相似考题

1.若y2(x)是线性非齐次方程y'+ P(x)y=Q(x)的解，y1(x)是对应的齐次方程y'+ P(x)y=0的解，则下列函数中哪一个是y'+ P(x)y=Q(x)的解？ A. y=cy1(x)+y2(x) B. y=y1(x)+c2y2(x) C. y=c[y1(x)+y2(x)] D. y=cy1(x)-y2(x)

2.若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay'+by=0的通解为y=(C1+C2x)e^x，则非齐次方程y"+ay'+by=x满足条件y(0)=2，y'(0)=0的解为y=________.

3.设非齐次线性微分方程y´+P(x)y=Q(x)有两个不同的解析：y1(x)与y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是( ).A.C[(y1(x)-y2(x)] B.y1(x)+C[(y1(x)-y2(x)] C.C[(y1(x)+y2(x)] D.y1(x)+C[(y1(x)+y2(x)]

4.设线性无关函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程y''+p(x)y‘+Q(x)y =f(x)的解，c1、c2是待定常数。则此方程的通解是： A. c1y1+c2y2+y3 B. c1y1+c2y2-(c1+c3)y3 C. c1y1+c2y2-(1-c1-c2)y3 D. c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3

参考答案和解析

正确答案： C

解析：
由解的结构可知，y₁－y₃和y₂－y₃是对应齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的解，且二者线性无关，故y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的通解为c₁（y₁－y₃）＋c₂（y₂－y₃），其中c₁，c₂为任意常数。故方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的通解为c₁（y₁－y₃）＋c₂（y₂－y₃）＋y₃，即c₁y₁＋c₂y₂＋（1－c₁－c₂）y₃。

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第1题：

仔细阅读下面程序，请给出运行结果（）。#include#includeint f1（int x）{return x*x；}int f2（int x）{return x*x*x；}main（）{int x=3,y1,y2,y3,y4；int（*f）（）；f=f1；y1=（*f）（x）；y2=f1（x）；f=f2；y3=f（x）；y4=f2（x）；printf（“y1=%d，y2=%d，y3=%d，y4=%d\n”，y1，y2，y3，y4）；}

A.y1=9,y2=9,y3=27,y4=27
B.y1=3,y2=9,y3=27,y4=9
C.y1=3,y2=3,y3=9,y4=9
D.y1=3,y2=9,y3=9,y4=27

答案：A
解析：
题中y2和y4是直接函数调用，毫无疑问是9和27，关键在于f=f1是将函数指针f指向了函数f1，因此y1=（*f）（x）本质是调用了函数f1，其结果与直接调用y2=f1（x）相同，y3同理。
第2题：

设线性无关的函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)的解，C1、C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )。

A.C1y1+C2y2+y3
B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3
C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3
D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3

答案：D
解析：
根据解的性质知，y1-y3，y2-y3均为齐次方程的解且线性无关，因此C1(y1-y3)+C2(y2-y3)为齐次方程的通解，从而C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3为非齐次方程的通解。
第3题：

若y1（x）是线性非齐次方程y '+ p（x）= Q（x）的解，y1（x）是对应的齐次方程y'+p（x）y=0的解，则下列函数中哪一个是y '+ p（x）y= Q（x）的解？

A. y=cy1（x）+y2（x）
B. y=y1（x）+c2y2（x）
C. y=c[y1 （x）+y2（x）]
D.y=c1y（x）-y2（x）

答案：A
解析：
提示：由一阶线性非齐次方程通解的结构确定，即由对应齐次方程的通解加上非齐次的一特解组成。
第4题：

设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为______．

答案：
解析：
由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为其中C1，C2为任意常数．
第5题：

设线性无关函数y₁、y₂、y₃都是二阶非齐次线性方程y″+P（x）y′+Q（x）y=f（x）的解，C₁、C₂是待定常数。则此方程的通解是：（）
- A、C₁y₁+C₂y₂+y₃
- B、C₁y₁+C₂y₂-（C₁+C₃）y₃
- C、C₁y₁+C₂y₂-（1-C₁-C₂）y₃
- D、C₁y₁+C₂y₂+（1-C₁-C₂）y₃
正确答案:D
第6题：

单选题
若y2（X）是线性非齐次方程y＇+p（x）y-q（x）的解，y1（x）是对应的齐次方程y＇+p（x）y=0的解，则下列函数也是y＇+p（x）y=g（x）的解的是（）。
A
y=Cy1（x）+y2（x）
B
y=y1（x）+Cy2（x）
C
y=C［y1（x）+y2（x）]
D
y=Cy1（x）-y2（x）

正确答案： A
解析：暂无解析
第7题：

单选题
设y1＝3＋x2，y2＝3＋x2＋e－x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应的齐次方程有一个解为y3＝x，则该方程的通解为（　　）。
A
y＝3－x²＋c₁x＋c₂e^－x
B
y＝3＋x²－c₁x＋c₂e^－x
C
y＝3＋x²＋c₁x＋c₂e^－x
D
y＝3＋x²＋c₁x－c₂e^－x

正确答案： B
解析：
由解的叠加原理可知，y₂－y₁＝e^－x是原方程对应齐次方程的一个特解，可知该特解与题中给出的y₃＝x线性无关，则原方程的通解为y＝3＋x²＋c₁x＋c₂e^－x。
第8题：

单选题
设函数y1（x）、y2（x）、y3（x）线性无关，且都是二阶非齐次线性方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，又c1与c2为任意常数，则该非齐次线性方程的通解可表示为（　　）。
A
c₁y₁＋c₂y₂＋y₃
B
c₁y₁＋c₂y₂－（c₂＋c₁）y₃
C
c₁y₁＋c₂y₂－（1－c₁－c₂）y₃
D
c₁y₁＋c₂y₂＋（1－c₁－c₂）y₃

正确答案： C
解析：
由解的结构可知，y₁－y₃和y₂－y₃是对应齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的解，且二者线性无关，故y″＋p（x）y′＋q（x）y＝0的通解为c₁（y₁－y₃）＋c₂（y₂－y₃），其中c₁，c₂为任意常数。故方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的通解为c₁（y₁－y₃）＋c₂（y₂－y₃）＋y₃，即c₁y₁＋c₂y₂＋（1－c₁－c₂）y₃。
第9题：

问答题
设二阶线性微分方程y″＋P（x）y′＋Q（x）y＝f（x）的三个特解是y1＝x，y2＝ex，y3＝e2x，试求此方程满足条件y（0）＝1，y′（0）＝3的特解。

正确答案：
由题意可知,Y₁=e^x-x、Y₂=e^2x-x是原方程对应齐次方程的两个线性无关的解[因(e^x-x)/(e^2x-x)≠常数],故原方程的通解为y=C₁(e^x-x)+C₂(e^2x-x)+x,由y(0)=1,y′(0)=3,得C₁=-1,C₂=2。故所求原方程的特解为y=-(e^x-x)+2(e^2x-x)+x=2e^2x-e^x。
解析：暂无解析
第10题：

单选题
已知某二阶非齐次线性微分方程的三个解分别为y1＝ex，y2＝xex，y3＝x2ex，则它的通解为（　　）。
A
y＝C₁（x－1）e^x＋C₂（x²－1）e^x＋e^x
B
y＝C₁（x－1）e^－x＋C₂（x²－1）e^x＋e^x
C
y＝C₁（x－1）e^x＋C₂（x²－1）e^－x＋e^x
D
y＝C₁（x－1）e^x＋C₂（x²－1）e^x＋e^－x

正确答案： A
解析：
因为y₁＝e^x，y₂＝xe^x，y₃＝x²e^x是二阶非齐次微分方程的特解，故xe^x－e^x，x²e^x－e^x是该微分方程对应齐次微分方程的两个线性无关的解。故二阶非齐次微分方程的通解为y＝C₁（xe^x－e^x）＋C₂（x²e^x－e^x）＋e^x，化简可得y＝C₁（x－1）e^x＋C₂（x²－1）e^x＋e^x。
第11题：

单选题
设非齐次线性微分方程y′＋P（x）y＝Q（x）有两个不同的解y1（x），y2（x），C为任意常数，则该方程的通解是（　　）。
A
C[y₁（x）－y₂（x）]
B
y₁（x）＋C[y₁（x）－y₂（x）]
C
C[y₁（x）＋y₂（x）]
D
y₁（x）＋C[y₁（x）＋y₂（x）]

正确答案： B
解析：
由题意可知，y(＿)＝y₁（x）－y₂（x）是y′＋P（x）y＝0的一个解，则y′＋P（x）y＝0的通解是C[y₁（x）－y₂（x）]。故所求方程通解为y₁（x）＋C[y₁（x）－y₂（x）]
第12题：

单选题
若y2（x）是线性非齐次方程y′+P（z）y=Q（x）的解，y1（x）是对应的齐次方程y′+P（x）y=0的解，则下列函数中哪一个是y′+P（z）y=Q（x）的解？（）
A
y=cy1（x）+y2（x）
B
y=y1（x）+c2y2（x）
C
y=c[y1（x）+y2（x）]
D
y=c1y（x）-y2（x）

正确答案： A
解析：暂无解析
第13题：

设非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程通解是( )。

A.C[y1(x)-y2(x)]
B.y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]
C.C[y1(x)+y2(x)]
D.y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]

答案：B
解析：
因为y1(x)，y2(x)是y′+P(x)y=Q(x)的两个不同的解，所以C(y1(x)-y2(x))是齐次方程y′+P(x)y=0的通解，进而y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]是题中非齐次方程的通解。
第14题：

设线性无关函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程y"+pxy'+Qxy=fx的解，c1、c2是待定常数。则此方程的通解是：

A. c1y1+c2y2+y3
B.c1y1+c2y2-（c1+c3）y3
C. c1y1+c2y2-（1-c1-c2）y3
D.c1y1+c2y2+（1-c1-c2）y3

答案：D
解析：
提示：y1-y3，y2-y3为对应齐次方程二个线性无关解，y3为非齐次方程的特解。
第15题：

若y2(x)是线性非齐次方程y'+p(x)y=q(x)的解，y1(x)是对应的齐次方程y'+p(x)y=0的解，则下列函数也是y'+p(x)y=q(x) 的解的是（）。
A.y=Cy1(x)+y2(x) B. y=y1(x)+Cy2(x)
C.y=C[y1(x)+y2(x)] D.y=Cy1(x)-y2(x)

答案：A
解析：
提示：齐次方程的通解加上非齐次的特解仍是非齐次的解。
第16题：

若y₂（x）是线性非齐次方程y′+P（x）y=Q（x）的解，y（x）是对应的齐次方程y′+P（x）y=0的解，则下列函数中哪一个是y′+P（x）y=Q（x）的解（）？
- A、y=cy₁（x）+y₂（x）
- B、y=y₁（x）+c₂y₂（x）
- C、y=c[y₁（x）+y₂（x）]
- D、y=c₁y（x）-y₂（x）
正确答案:A
第17题：

线性无关的函数y₁（x），y₂（x），y₃（x）都是二阶非齐线性方程y"+a₁（x）y’+a₂（x）y=f（x）的解。C₁，C₂是任意常数，则该方程的通解是（）。
- A、y=C₁y₁+C₂y₂+y₃
- B、y=C₁y₁+C₂y₂+（C₁+C₂）y₃
- C、y=C₁y₁+C₂y₂-（1-C₁-C₂）y₃
- D、y=C₁y₁+C₂y₂+（1-C₁-C₂）y₃
正确答案:D
第18题：

单选题
线性无关的函数y1（x），y2（x），y3（x）都是二阶非齐线性方程y"+a1（x）y’+a2（x）y=f（x）的解。C1，C2是任意常数，则该方程的通解是（）。
A
y=C₁y₁+C₂y₂+y₃
B
y=C₁y₁+C₂y₂+（C₁+C₂）y₃
C
y=C₁y₁+C₂y₂-（1-C₁-C₂）y₃
D
y=C₁y₁+C₂y₂+（1-C₁-C₂）y₃

正确答案： B
解析：选项（D）变形为y=C₁（y₁-y₃）+C₂（y₂-y₃）+y₃，y₁-y₃，y₂-y₃是对应齐次方程的解，且它们线性无关，y₃是非齐方程的一个特解，由线性方程解的结构可见（D）是通解。
第19题：

单选题
设函数y1，y2，y3都是线性非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，则函数y＝（1－c1－c2）y1＋c1y2＋c2y3（　　）。（c1，c2为任意常数）
A
是所给方程的通解
B
不是方程的解
C
是所给方程的特解
D
可能是方程的通解，但一定不是其特解

正确答案： C
解析：
由于y₁，y₂，y₃都是y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的不相等的特解，则y₂－y₁，y₃－y₁是它对应的齐次方程的特解，故y＝（1－c₁－c₂）y₁＋c₁y₂＋c₂y₃＝y₁＋c₁（y₂－y₁）＋c₂（y₃－y₁）是非齐次方程y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的解，但是，由于无法确定y₂－y₁与y₃－y₁是否为线性无关，故不能肯定它是y″＋p（x）y′＋q（x）y＝f（x）的通解。
第20题：

问答题
设y1＝x，y2＝x＋e2x，y3＝x（1＋e2x）是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求该方程及其通解。

正确答案：
由题意可知,y₂-y₁=e^2x,y₃-y₁=xe^2x是对应齐次方程的两个线性无关的解,齐次方程的通解为y(_)=(C₁+C₂x)e^2x,且特征方程有二重根r₁_,₂=2,则特征方程为(r-2)²=r²-4r+4=0,则齐次方程为y″-4y′+4y=0。
令所求非齐次方程为y″-4y′+4y=f(x),将其解之一y₁=x代入得f(x)=4x-4,则所求方程为y″-4y′+4y=4x-4,又齐次方程的通解为y(_)=(C₁+C₂x)e^2x,且非齐次方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^2x+x。
解析：暂无解析
第21题：

填空题
设y1＝3＋x2，y2＝3＋x2＋e－x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应的齐次方程有一个解为y3＝x，则该方程的通解为____。

正确答案： y=3+x²+c₁x+c₂e^-^x
解析：
由解的叠加原理可知，y₂－y₁＝e^－^x是原方程对应齐次方程的一个特解，可知该特解与题中给出的y₃＝x线性无关，则原方程的通解为y＝3＋x²＋c₁x＋c₂e^－^x。
第22题：

单选题
设线性无关函数y1、y2、y3都是二阶非齐次线性方程y″+P（x）y′+Q（x）y=f（x）的解，C1、C2是待定常数。则此方程的通解是：（）
A
C₁y₁+C₂y₂+y₃
B
C₁y₁+C₂y₂-（C₁+C₃）y₃
C
C₁y₁+C₂y₂-（1-C₁-C₂）y₃
D
C₁y₁+C₂y₂+（1-C₁-C₂）y₃

正确答案： D
解析：暂无解析
第23题：

单选题
若y2（x）是线性非齐次方程y′+P（x）y=Q（x）的解，y（x）是对应的齐次方程y′+P（x）y=0的解，则下列函数中哪一个是y′+P（x）y=Q（x）的解（）？
A
y=cy₁（x）+y₂（x）
B
y=y₁（x）+c₂y₂（x）
C
y=c[y₁（x）+y₂（x）]
D
y=c₁y（x）-y₂（x）

正确答案： C
解析：由一阶线性非齐次方程通解的结构确定，即由对应齐次方程的通解加上非齐次的一特解组成。
第24题：

填空题
已知某二阶非齐次线性微分方程的三个解分别为y1＝ex，y2＝xex，y3＝x2ex，则它的通解为____。

正确答案： y=C₁(x-1)e^x+C₂(x²-1)e^x+e^x
解析：
因为y₁＝e^x，y₂＝xe^x，y₃＝x²e^x是二阶非齐次微分方程的特解，故xe^x－e^x，x²e^x－e^x是该微分方程对应齐次微分方程的两个线性无关的解。故二阶非齐次微分方程的通解为y＝C₁（xe^x－e^x）＋C₂（x²e^x－e^x）＋e^x，化简可得y＝C₁（x－1）e^x＋C₂（x²－1）e^x＋e^x。

题目

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