问答题设A是n阶方阵，AAT＝E，|A|＜0，求|A＋E|，其中AT是A的转置矩阵。
题目
问答题
设A是n阶方阵，AAT＝E，|A|＜0，求|A＋E|，其中AT是A的转置矩阵。
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第1题：
设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，答案：解析：
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第2题：
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
(1)证明B可逆；
(2)求AB^-1.答案：解析：
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第3题：
设
，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0答案：解析：
-
第4题：
设A是m×n阶矩阵,若A^TA=O,证明：A=0.答案：解析：【证明】因为r(A)=r(A^TA)，而A^TA=O，所以r(A)=0，于是A=O. -
第5题：
设A，B是n阶方阵，A≠0且AB=0，则（ ）.
A.|
B.B=0；
C.BA=O：
D.
答案：A解析： -
第6题：
设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）.《》（ ）
答案：C解析：
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第7题：
设A为n阶可逆方阵，则（）不成立。
- A、AT可逆
- B、A2可逆
- C、-2A可逆
- D、A+E可逆
正确答案:D -
第8题：
单选题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（ ）。A（A＋E）/2
B－（A＋E）/2
C（A－E）/2
D－（A－E）/2
正确答案： C解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第9题：
单选题设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB＝0，则A＝（ ）。A0
B1
C2
D3
正确答案： A解析：
取基本单位向量组为ε1，ε2，…，εn。
当m＝n时，由对任意B都有AB＝0，则对B＝（ε1，ε2，…，εn）＝En也成立，即AE＝0，故A＝0。
当m＞n时，取B＝（ε1，ε2，…，εn，B1）＝（En，B1），则由AB＝A（En，B1）＝0，知AEn＝0，故A＝0。 -
第10题：
填空题设A为n阶方阵，若对任意n×m（m≥n）矩阵B都有AB=0，则A=____.正确答案： 0解析：
取基本单位向量组为ε1，ε2，…εn
当m=n时，由对任意B都有AB=0，则对B=（ε1，ε2，…εn）=En也成立，即AE=0，故A=0．
当m>n时，取B=（ε1，ε2，…εn，B1）=（En，B1），则由AB=A（En，B1）=0，知AEn=0，故A=0． -
第11题：
问答题设A＝E－α(→)α(→)T，其中E是n阶单位矩阵，α(→)是n维非零列向量，α(→)T是α(→)的转置。证明： （1）A2＝A的充要条件是α(→)Tα(→)＝1； （2）当α(→)Tα(→)＝1时，A是不可逆矩阵。正确答案：
(1)必要性:由A=E-ααT,可知
A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-ααT-ααT +(ααT)(ααT)=E-2ααT+α(αTα)αT=E-ααT +(αTα-1)ααT
若A2=A=E-ααT,则(αTα-1)ααT=0,因为α为非零向量,故ααT≠0,所以有αTα-1=0,即αTα=1。
充分性:若ααT=1,即ααT-1=0,则A2=E-ααT+(αTα-1)ααT=E-ααT=A。
(2)(反证法)
若ααT=1,则有A2=A。如果矩阵A可逆,则有A-1A2=A-1A=E,即A=E,这与A=E-ααT相矛盾(由α是n维非零列向量,故ααT≠0),故矩阵A不可逆。解析： 暂无解析 -
第12题：
单选题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝（ ）。AA＋2E
BA＋E
C（A＋E）/2
D－（A＋E）/2
正确答案： A解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第13题：
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足
，求 ①二次型
的标准形； ②行列式
的值，其中E为单位矩阵答案：解析：
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第14题：
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B， (1)证明B可逆； (2)求.
答案：解析：
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第15题：
设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵
.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.
答案：解析：
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第16题：
设n阶矩阵A可逆，且detA=a，求
，.
答案：解析：
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第17题：
设n阶方阵是一个上三角矩阵，则需存储的元素个数为()。A.n
B.n×n
C.n×n/2
D.n(n+1)/2答案：D解析：在上三角矩阵中，第一行有1个元素，第二行有2个元素，…，第n行有n个元素，则共n(n+1)/2个。 -
第18题：
设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则||A|A*|等于（ ）.
答案：D解析：
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第19题：
设A为n阶方阵，且|A|=a≠0，则|A*|等于（）。
- A、a
- B、an-1
- C、an
正确答案:C -
第20题：
填空题设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且A2＝A，则（A－2E）－1＝____。正确答案： -(A+E)/2解析：
由题设A2＝A有，A2－A－2E＝（A－2E）（A＋E）＝－2E，即（A－2E）[－（A＋E）/2]＝E，所以有（A－2E）－1＝－（A＋E）/2。 -
第21题：
单选题设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则||A|A*|等于（ ）。A｜A｜2
B｜A｜n
C｜A｜2n
D｜A｜2n－1
正确答案： D解析：
||A|A*|＝|A|n·|A*|＝|A|n·|A|n－1＝|A|2n－1。 -
第22题：
单选题设A为n阶可逆方阵，则（）不成立。AAT可逆
BA2可逆
C-2A可逆
DA+E可逆
正确答案： D解析： 暂无解析 -
第23题：
单选题设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。A｜A｜＝｜B｜
B｜A｜≠｜B｜
C若｜A｜＝0，则一定有｜B｜＝0
D若｜A｜＞0，则一定有｜B｜＞0
正确答案： A解析：
矩阵A经过若干次初等变换后得到矩阵B，则存在可逆矩阵P，Q使得B＝PAQ，因此|B|＝|PAQ|＝|P|·|A|·|Q|，若|A|＝0，则必有|B|＝|P|·|A|·|Q|＝0成立。