设生产函数为柯布道格拉斯函数Q=L^(1/3)K^(2/3)，己知劳动力和资本的价格分别是w=1和r =2， (1)该生产函数代表了哪种类型的规模收益？ (2)设企业的生产成本为3000，求两种要素的投入数量与总产量。 (3)设企业的生产产量为800，求两种要素的投入数量与企业所需付出的成本。

(1)由已知可得企业1和企业2的边际成本分别为：MCl =1，MC2=2。因为MC2> MC1，所以，为使卡特尔总利润最大化，应当使企业1生产，企业2不生产。因此，Q—qi，q2 =0。 卡特尔的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

解得：q1=6。 将q1=6和q2=O代入需求函数，可得P=5/2 (2)企业1的成本函数为c1=q1，企业2的成本函数为C2=2q2，可知卡特尔定价下P>MC2> Mc1，两个企业都有降低价格获得最大利润的冲动。因此，卡特尔不是一个纳什均衡。 (3)若两厂商进行古诺竞争，则寡头企业1的利润函数为：

其利润最大化的一阶条件为：

得企业1的反应函数为： q1=6-0. 5q2 ① 同理可得企业2的反应函数为： q2 =4-0. 5q1 ② 联立两个寡头厂商的反应函数①②可得：q．=16/3，q2 =4/3。从而得： P= 7／3，π1=64/9，π2=4/9

(1)由Q=35L+ 8L2一L2可得： AP= Q/L=35+8L-L2,MP= dQ/d/= 35 +16L-3L2. (2)当L=6时，AP =47，MP =23，由于MP ＜AP，则处于短期生产的合理区间。

(1)由题意可知，当固定投入比例生产要素为最佳组合时，Q=2L=3K。 Q =120时，1= 60，K=40。 当PL =1、PK =3时，成本C=PL·L+PK·K=180; 当PL =4、PK =2时，成本C=PL·L+PK·K=320。 比较两个结果可知，第二种价格的成本更高，因为投入比例固定，L投入比K投入数量多，L价格越高成本越高。 (2)由题意可知，C=PL．L+PK·K。 C= 180,PL=4,PK =3，即4L+3K= 1800 (1) 又由(1)得Q=2L=3K， (2) 联立可得L=30，K=20，此时Q=60。

(1)先求单个企业的供给函数：

故A VC的最小值为1。 而MC的最小值也为1，故只有价格大于等于1，厂商才会供给商品。 此时单个企业的供给函数为P= MC =0.4Q +l，即Q=2.SP -2.5。 市场的供给函数为Qs=200Q =500P -500(P≥1)，由QD=QS可得P=5。 市场均衡产量为2000单位，每个厂商产量为10单位。 单个厂商利润为5 x10 - (0.2 x102 +10+15) =5。

将Q=6代入LAC，得IAC =7.5。 由长期均衡条件可得P=7. 5. (3)将P=7.5代入需求函数可得市场需求量为1762.5，而200个厂商的供给量为1200，再加上厂商短期利润为正，长期利润为O，所以没有厂商退出经营。

(1)厂商的短期总成本曲线是在保持r和w不变的前提下，根据k的 变化而得出的。 由题意可得：成本函数为C=wL+rK。当K-定时，最优状态为：

(3)投入的增加导致产出相同比例的增加，这是规模报酬不变的情形；若产出增加比例小于投入增加比例，则是规模报酬递减的情形；如果产出增加的比例大于投入增加的比例，则是规模报酬递增的情形。 柯布一道格拉斯生产函数的规模报酬取决于系数a和口的值，即有：

因此，a+β>l，柯布道格拉斯生产函数为规模报酬递增；口+J9—1，函数为规模报酬不变；a+β<1，函数为规模报酬递减。

代入K =10，有Q=10L -0. 5L2—32。 (1)劳动的平均产量函数为APL= 10 -0.5L-32/L．劳动的边际产量函数为MP1=10 -L。 (2)要使总产量达到极大值，由MPL =0，可得L=10.

(1)替代弹性用来衡量生产要素投入比例变动对于生产要素边际技术替代率变动的敏感性程度。替代弹性（σ）表示如下：

因此，柯布—道格拉斯生产函数的替代弹性恒为】。

(1)由题意，Q=min( 2L，3K)表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时总有Q =2L=3K。当产量为36时，有L=18，K=12。 (2)由Q=2L=3K且Q=480，可得L=240，K=160。 又因为PL =2、PK =5，所以有C=PL·L+PK·K=2 x240+5 x160 =1280，即生产480单位产量的最小成本为1280。

(1)根据市场短期均衡的条件D=SS，有6300 - 400P= 3000 +150P，解得P=6。 以P=6代入市场需求函数，有Q=6300 - 400×6=3900。 所以，该市场短期均衡价格和均衡产量分别为P=6、Q=3900： (2)因为该市场短期均衡时的价格P=6，由题意可知，单个企业在LAC曲线最低点的价格也为6，所以，由此可以判断该市场也同时处于长期均衡。 由(1)可知市场长期均衡时的数量为Q=3900，由题意可知，在市场长期均衡时单个企业的产量为50，所以，由此可以求出市场长期均衡时行业内的厂商数量为3900÷50= 78。 (3)根据市场短期均衡的条件D’=SS’，有8000 - 400P’=4700 +150P’，解得P’=6。 以P’ =6代入市场需求函数，有Q’= 8000 - 400×6=5600。 或者以P’=6代人市场短期供给函数，有Q’=4700 +150×6=5600。 所以，该市场在变化了的供求函数条件下的短期均衡价格和均衡产量分别为P’=6、Q’=5600。 (4)与(2)的分析相类似，在市场需求函数和短期供给函数变化之后，该市场短期均衡时的价格P=6，由题意可知，单个企业在LAC曲线最低点的价格也是6，所以，由此可以判断该市场的这一短期均衡同时也是长期均衡。 因为由(3)可知，供求函数变化以后的市场长期均衡时的产量Q’=5600，由题意可知，在市场长期均衡时单个企业的产量为50，所以，由此可以求出市场长期均衡时行业内的厂商数量为5600÷50= 112。 (5)由以上分析和计算过程可知：在该市场供求函数发生变化前后的市场长期均衡时的均衡价格是不变的，均为P=6，而且单个企业在LAC曲线最低点的价格也是6。于是，我们可以判断该行业属于成本不变行业。以上(1)~(5)的分析与计算结果的部分内容如图6—6所示。

(6)由(1)和(2)可知，(1)时的厂商数量为78;由(3)和(4)可知，(3)时的厂商数量为112。因此，由(1)到(3)所增加的厂商数量为112 - 78= 34：或者，也可以这样计算：由于从(1)到(3)市场长期均衡产量的增加量为AQ= 5600 - 3900=1700。由题意可知，单个企业长期均衡时的产量为Q=50，所以，为提供AQ =1700的新增产量，需要新加入的企业数量为1700÷50= 34。