自学考试专题：全国1010自学考试线性代数试题

若A是____,则A必为方阵。

A.对称矩阵

B.可逆矩阵

C.n阶矩阵的转置矩阵

D.线性方程组的系数矩阵


参考答案：ABC

在数学上表示一个横成行、纵成列的数字方阵的是

A、方阵

B、队列

C、矩阵

D、数组

E、行列式


参考答案：C

下列结论中正确的是（　　）。

A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

下列结论中正确的是（　　）。

A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

设A为三阶方阵，A*为矩阵A的伴随矩阵，，请计算


答案：
解析：

全国2010年10月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r（A)表示矩阵A的秩.一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设矩阵A=，B=（1，1）则AB=（ ）A0B（1，-1）CD2设A为3阶矩阵，|A|=1，则|-2AT|=（ ）A-8B-2C2D83设行列式D1=，D2=，则D1=（ ）A0BD2C2D2D3D24设矩阵A的伴随矩阵A*，则A-1=（ ）ABCD5设A,B均为n阶可逆矩阵，则必有（ ）AA+B可逆BAB可逆CA-B可逆DAB+ BA可逆6设A为3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=（ ）A0B1C2D37设向量组1=（1，2），2=（0，2），=（4，2），则（ ）A1，2，线性无关B不能由1，2线性表示C可由1，2线性表示，但表示法不惟一D可由1，2线性表示，且表示法惟一8设齐次线性方程组有非零解，则为（ ）A-1B0C1D29设A为3阶实对称矩阵，A的全部特征值为0，1，1，则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为（ ）A0B1C2D310二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+4x32-2tx2x3正定，则t满足（ ）A-4t-2B-2 t 2C2t4Dt4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11行列式的值为_.12已知A=，则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_.13设A，B都是3阶矩阵，且|A|=2，B=-2E，则|A-1B|=_.14设矩阵A=，P=，则AP3=_.15已知向量组1=（1，2，3），2=（3，-1，2），3=（2，3，k）线性相关，则数k=_.16已知Ax=b为4元线性方程组，r(A)=3. 1，2，3为该方程组的3个解，且1=，2+3=，则该线性方程组的通解是_.17设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为_.18已知P是3阶正交矩阵，向量=， =，则内积（P，P）=_.19与矩阵A=相似的对角矩阵为_.20二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3的秩为_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21求行列式D=的值.22设矩阵A=，B=，求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.23设向量组1=(1,3,0,5)T，2=(1,2,1,4)T，3=(1,1,2,3)T，4=(1,0,3,k)T，确定k的值，使向量组1，2，3，4的秩为2，并求该向量组的一个极大线性无关组.24当数a为何值时，线性方程组有无穷多解？并求出其通解.（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）25已知3阶矩阵A的特征值为-1，1，2，设B=A2+2A-E，求（1）矩阵A的行列式及A的秩.（2）矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.26求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.四、证明题（本题6分）27已知n阶矩阵A，B满足A2=A，B2=B及(A-B)2=A+B，证明AB=0.第 4 页

设A为三阶方阵，A*为矩阵A的伴随矩阵，，请计算


答案：
解析：

下列结论中正确的是（　　）。

A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

设A为三阶方阵，A*为矩阵A的伴随矩阵，，请计算


答案：
解析：

下列结论中正确的是（　　）。

A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

下列结论中正确的是（　　）。

A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

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