自学考试专题：全国0904自学考试线性代数试题

在数学上表示一个横成行、纵成列的数字方阵的是( )

A.方阵

B.趴列

C.矩阵

D.数组

E.行列式


正确答案：C

在数学上表示一个横成行、纵成列的数字方阵的是

A、方阵

B、队列

C、矩阵

D、数组

E、行列式


参考答案：C

下列结论中正确的是（　　）。

A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵


答案：
解析：

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵


答案：
解析：

全国2009年4月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。13阶行列式中元素a21的代数余子式A21=（）A-2B-1C-1D22设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（）AA-1C-1BC-1A-1CACDCA3设3阶矩阵A=，则A2的秩为（）A0B1C2D34设矩阵A=，B=，P1=，P2=，则必有（）AP1P2A=BBP2P1A=BCAP1P2=BDAP2P1=B5设向量组1, 2, 3, 4线性相关，则向量组中（）A必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6设1, 2, 3, 4是一个4维向量组，若已知4可以表为1, 2, 3,的线性组合，且表示法惟一，则向量组1, 2, 3, 4的秩为（）A1B2C3D47设1, 2, 3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（）A1, 2, 1+2B1, 2, 1-2C1+2, 2+3, 3+1D1-2，2-3，3-18设A为3阶矩阵，且=0，则A必有一个特征值为（）A-B-CD9设实对称矩阵A=，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（）A+B+-C+D-10设2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，则矩阵A可取为（）ABCD二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=_。12.已知3阶行列式=6，则=_。13.设A=，则A2-2A+E=_。14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=，则A=_。15.设3阶矩阵A=，则A-1=_。16.设向量组a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),线性相关，则数a=_。17.3元齐次线性方程组的基础解系中所含解向量的个数为_。18.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则=_。19.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为1=(1,1)T，2=(1,k)T，则数k=_。20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=_。三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算4阶行列式.22.设2阶矩阵A=，P=，矩阵B满足关系式PB=A*P，计算行列式.23.求向量组1=(1,1,1,3)T，2=(-1,-3,5,1)T，3=(3,2,-1,4)T，4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表示.24.设3元齐次线性方程组（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.25.设矩阵B=，（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵P，使P-1BP=.26.设3元二次型f(x1,x2,x3)=+-2x1x2-2x2x3，求正交变换x=Py，将二次型化为标准形.四、证明题（本大题6分）27.设矩阵A=，其中a1,a2,a3互不相同，证明：与A可交换的矩阵只能为对角矩阵.第 4 页

下列结论中正确的是（　　）。

A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足，求 ①二次型的标准形； ②行列式的值，其中E为单位矩阵


答案：
解析：

下列结论中正确的是（　　）。

A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
B、 秩为r的矩阵中，所有r阶子式均不为零
C、 若n阶方阵A的秩小于n，则该矩阵A的行列式必等于零
D、 秩为r的矩阵中，不存在等于零的r-1阶子式

答案：C
解析：
A项，矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项，由矩阵秩的定义可知，若矩阵A（m×n）中至少有一个r阶子式不等于零，且r＜min（m，n）时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。即秩为r的矩阵中，至少有一个r阶子式不等于零，不必满足所有r阶子式均不为零。C项，矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩，n阶矩阵的秩为n时，所对应的行列式的值大于零；当n阶矩阵的秩＜n时，所对应的行列式的值等于零。D项，秩为r的矩阵中，有可能存在等于零的r-1阶子式，如秩为2的矩阵



中存在等于0的1阶子式。

下列命题正确的是()。

A.一个图的邻接矩阵表示不唯一的，邻接表表示也不唯一
B.一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示也唯一
C.一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示不唯一
D.一个图的邻接矩阵表示不唯一的，邻接表表示是唯一

答案：C
解析：
一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示不唯一。

下列命题正确的是()。

A.一个图的邻接矩阵表示不唯一的，邻接表表示也不唯一
B.一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示也唯一
C.一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示不唯一
D.一个图的邻接矩阵表示不唯一的，邻接表表示是唯一

答案：C
解析：
一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示不唯一。

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