如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60。，F在AC上，且AE=AF． (1)证明：B，D，H，E四点共圆； (2)证明：CE平分∠DEF．

30°1．73 【解题指要】本题的考点是光的反射定律和折射定律．
光线经过两次折射，第一次在AB面上，第二次在AC面上，在AB面上垂直入射，入射角为
零，折射角也为零．此折射光线是AC面上的入射光．它与AC面的夹角为
90°－∠A=90°－30°=60°
因此，AC面上光线的入射角是
θi=90°－60°=30°
由图2-15知，光线在AC面上折射后的折射光（即出射光）与AC面法线的夹角（即折射角）为
θr=30°+30°=60°
再根据折射定律

知棱镜的折射率为

注意，考生在解题时应在图2-7中把AC面上通过入射点的AC的垂线，即AC面的法线画出，这样根据几何关系可以明确求出折射角θr(见图2-15)．

(1)连接OB，∵AD是圆⊙O的直径'∴∠OBD+∠EBD=90°， ∵BD=BC,∴其劣弧所对的圆周角相等，即∠CAB=∠BAD，
∵AO=BO,∴∠BAD=∠ABO，
又∠EBD=∠CAB,∴∠EBD=ABO,∴∠OBD+∠ABO=90°,∴∠OBE=90°，
∵B0是圆的半径，∴BE是⊙O的切线。
(2)设圆的半径为r，连接CD交OB于F，

设圆的半径为R，连接CD，.

解：∵四边形ABCD和四边形DEFG均为矩形，
∴∠DAF=∠DAB=90°，∠G=90°，DG=EF.
∵EF=6，DH=5，∴GH=DG-DH=EF-DH=6-5=1
在Rt△ADH中，AD=4，DH=5，

根据题意可知，DO=BD，OE=EC，则△ADE的周长=AB+AC=45.4 cm。

接AE,由于F是AC的中点,D是CE的中点,因此O是△CAE的重心,所以,OF:OE=1:2

(1)
(2)

解法一：
第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用比例法解题。
第二步，由BD＝2AD，CE＝2AE，CF＝2BF，则DE∥BC，EF∥AB，即四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，DE＝BF。△ADE与△EFC与△ABC相似，所以边长比的平方等于面积比，所以

因此三角形ADE与四边形BDEF的面积比为1∶4，所以三者比值为1∶4∶4。
因此，选择C选项。
解法二：
第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用代入排除法解题。
第二步，由题意知，△ADE与△ABC相似，且AD∶AB＝1∶3，根据几何比例关系，＝1∶9。代入A选项，1∶（1＋3＋3）＝1∶7≠1∶9，排除；代入B选项，1∶（1＋3＋4）＝1∶8≠1∶9，排除；代入C选项，1∶（1＋4＋4）＝1∶9，满足；代入D选项，1∶（1＋4＋5）＝1∶10≠1∶9，排除。

(1)证明：∵PG=PD,∴∠PGD=∠PDG，又∵∠AGF=∠PGD，∠PDG=∠ABD，∴∠AGF=∠ABD，∴∠ADB=∠AFP=90°，∴AB为圆的直径。

因为BD⊥CD，BD=8，CD=6，由勾股定理可知BC=10。由三角形中位线定理可知EH=FG=

解题指导： 18*BF/BD=6*DF/BD， BF/DF＝1：3， OF/CD=1:4， OE/CD=1:4， EF=CD/2＝9，故答案为B。

5

证明：(1)分析法证明：要证DE=BD+EC．
需证OD=BD，OE=CE，
需证∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC，
显然由已知OB为∠DBC的平分线，OC为∠ECB的平分线，且DE∥BC，所以∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,所以命题成立。
(2)综合法证明：
∵OB为∠DBC的平分线，OC为1ECB的平分线，且DE∥BC，
∴∠DBO=∠OBC=∠DOB,∠EC0=∠BC0=∠EOC,
∴BD=OD．EC=OE。
又∵DE=OD+DE
∴DE=BD+EC。