如果向量β可由向量组a1,a2,…,as线性表示，则下列结论中正确的是： A.存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立 B.存在一组全为零的数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立 C.存在一组数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立 D.对β的线性表达式唯一
题目
如果向量β可由向量组a1,a2,…,as线性表示，则下列结论中正确的是：
A.存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
B.存在一组全为零的数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
C.存在一组数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
D.对β的线性表达式唯一
A.存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
B.存在一组全为零的数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
C.存在一组数k1,k2,…,ks使等式β=k1a1+k2a2+...+ksas成立
D.对β的线性表达式唯一
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第1题：
设向量组I：α1，α2，
αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs，线性表示，则(53)。A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
B．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
D．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．
正确答案：D
解析：本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ；声β1，β2，βs线性表示，则r＞s，当时，向量组Ⅰ必线性相关。或其逆否命题：若向量组I：α1，α2，可由向量组Ⅱ：β1，β2，βs线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则必有rs，。可见正确选项为D。本题也可通过举反例用排除法找到答案。 -
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设a1，a2，a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组
线性无关是向量组a1，a2，a3线性无关的（ ）A.必要非充分条件
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设向量组I：α1α2αr…，可由向量组Ⅱβ1,β2,…βs：线性表示，下列命题正确的是( )。A.若向量组I线性无关．则r≤S
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D.若向量组Ⅱ线性相关，则r>s答案：A解析：由于向量组I能由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)，即 -
第6题：
若向量组α、β、γ线性无关，α、β，δ线性相关，则（ ）.《》（ ）A.α必可由β、γ、δ线性表示
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第7题：
单选题n维向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关的充分条件是（ ）。Aα1，α2，…，αs中没有零向量
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Cα1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例
D某向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一
正确答案： D解析：
A项，例如α1＝（1，－1，2），α2＝（2，－2，4）都是非零向量，但α1，α2线性相关；
B项，如A项中的例子，α1，α2个数小于维数，但其线性相关；
C项，例如α1＝（1，0，－1），α2＝（0，3，0），α3＝（1，3，－1）中任意两个向量的分量均不成比例，但α1，α2，α3线性相关；
D项，β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一，即α1，α2，…，αs是α1，α2，…，αs，β的线性极大无关组，故α1，α2，…，αs线性无关。 -
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问答题设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性表示，但不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示，证明： （1）α(→)r不能由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r－1线性表示； （2）α(→)r能由α(→)1，α(→)2，…，α(→)r，β(→)线性表示。正确答案：
(1)(反证法)
可设αr能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示,即αr=k1α1+k2α2+…+kr-1αr-1。
由向量β可由向量组α1,α2,…,αr线性表示,有β=l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+lrαr。
所以有β=(l1+lrk1)α1+(l2+lrk2)α2+…+(lr-1+lrkr-1)αr-1,即β可由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示,这与已知条件相矛盾,故αr不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示。
(2)由β=l1α1+l2α2+…+lr-1αr-1+lrαr和β不能由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示,可知lr≠0,故αr=β/lr-l1α1/lr-l2α2/lr-…-lr-1αr―1/lr,即αr可由向量组α1,α2,…,αr-1线性表示。解析： 暂无解析 -
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问答题设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r＞0，证明： （1）α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组； （2）若α(→)1，α(→)2，…，α(→)s中每个向量都可由其中某r个向量线性表示，则这r个向量必为α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的一个极大线性无关组。正确答案：
(1)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中任意r个线性无关的向量,由于向量组的秩为r,故向量组中任意多于r个向量的向量组必线性相关,所以αj1,αj2,…,αjr,αi(i=1,2,…,s;i≠j1,j2,…,jr)线性相关,从而①为原向量组的极大线性无关组。
(2)设①:αj1,αj2,…,αjr是α1,α2,…,αs中的r个向量,且原向量组中每个向量都可由①线性表示,则原向量组与向量组①等价。等价向量组有相同的秩,原向量组的秩为r,所以向量组①的秩为r。又向量组①只含r个向量,故向量组①线性无关,因此由(1)的结论有①是原向量组的极大线性无关组。解析： 暂无解析 -
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单选题设向量组α1，α2，…，αr（Ⅰ）是向量组α1，α2，…，αs（Ⅱ）的部分线性无关组，则（ ）.A（Ⅰ）是（Ⅱ）的极大线性无关组
Br（Ⅰ）=r（Ⅱ）
C当（Ⅰ）中的向量均可由（Ⅱ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
D当（Ⅱ）中的向量均可由（Ⅰ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
正确答案： B解析：
题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）=r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）=r（Ⅱ）． -
第11题：
设a1,a2,3向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）
答案：A解析：
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第12题：
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可由向量组Ⅱ
:线性表示,下列命题正确的是( )
A.若向量组Ⅰ线性无关,则r≤s
B.若向量组Ⅰ线性相关,则r大于s
C.若向量组Ⅱ线性无关,则r≤s
D.若向量组Ⅱ线性相关,则r小于s答案：A解析：
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第13题：
设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则A.当r
C.当r答案：D解析：
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第14题：
若a1,a2,…,ar是向量组a1, a2,…,ar,…,an的最大无关组，则结论不正确的是：
A. an可由a1,a2,…,ar线性表示
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C.a1可由a1,a2,…,ar线性表示
D. an而可ar+1,ar+2,…,an线性表示答案：B解析：提示:可通过向量组的极大无关组的定义，以及向量的线性表示的定义，判定A、C成立， 选项D也成立，选项B不成立。 -
第15题：
A.（Ⅰ）是（Ⅱ）的极大线性无关组
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C.当（Ⅰ）中的向量均可由（Ⅱ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）
D.当（Ⅱ）中的向量均可由（Ⅰ）线性表示时，r（Ⅰ）=r（Ⅱ）答案：D解析：题设中只给出向量组（Ⅰ）是（Ⅱ）的部分线性无关组，则不能判定其为（Ⅱ）的极大线性无关组，也没有r（Ⅰ）=r（Ⅱ），若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）等价，即r（Ⅰ）=r（Ⅱ）. -
第16题：
单选题设向量β(→)可由向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1线性表示。记向量组（Ⅱ）：α(→)1，α(→)2，…，α(→)m－1，β(→)，则（ ）。Aαm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
Bαm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
Cαm可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
Dαm可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示
正确答案： B解析：
向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，不能由向量组α1，α2，…，αm－1线性表示，则设β＝k1α1＋k2α2＋…＋km－1αm－1＋kmαm，且km≠0，αm＝β/km－k1α1/km－…－km－1αm－1/km，说明αm可由向量组β，α1，α2，…，αm－1，线性表示，不可由向量组α1，α2，…，αm－1线性表示。 -
第17题：
单选题设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组（Ⅱ）:α1，α2，…，αm-1，β，则（ ）.Aαm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
Bαm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
Cαm可以由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
Dαm可由（Ⅰ）线性表示，不可由（Ⅱ）线性表示
正确答案： C解析：
若αm可由向量组（Ⅰ）线性表示，则β也可由向量组（Ⅰ）线性表示，与题设矛盾，故αm不能由（Ⅰ）线性表示；由β可由α1，α2，…，αm线性表示，知存在一组数k1，k2，…，km，使β=k1α1+k2α2+…+kmαm，且km≠0，否则β就能由（Ⅰ）线性表示，所以αm可由向量组（Ⅱ）． -
第18题：
单选题设向量组（Ⅰ）:α1，α2，…，αr可由向量组（Ⅱ）:β1，β2，…，βs线性表示，则（ ）.Ar＜s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Br＞s时，向量组（Ⅱ）必线性相关
Cr＜s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
Dr＞s时，向量组（Ⅰ）必线性相关
正确答案： B解析：
设向量组（Ⅰ）的秩为r1，向量组（Ⅱ）的秩为r2，由（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，知r1≤r2．又r2≤s，若r＞s，故r＞s≥r2≥r1，所以向量组（Ⅰ）必线性相关；若r＜s，不能判定向量组（Ⅰ）和（Ⅱ）的线性相关性． -
第19题：
单选题若向量组α(→)、β(→)、γ(→)线性无关，α(→)、β(→)、δ(→)线性相关，则（ ）。Aα必可由β、γ、δ线性表示
Bβ必可由α、γ、δ线性表示
Cδ可由α、β、γ线性表示
Dδ必不可由α、β、γ线性表示
正确答案： D解析：
因为α，β，δ线性相关，故α，β，γ，δ线性相关，设存在数k1，k2，k3，k4，使k1α＋k2β＋k3γ＋k4δ＝0，则k4≠0，否则α，β，γ线性相关，故δ可由α，β，γ线性表示。