设A是n阶正定矩阵,证明:｜E+A｜>1.

题目
设A是n阶正定矩阵,证明:｜E+A｜>1.

相似考题

1.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是()。A、∣A∣0B、存在n阶矩阵P，使得A=PTPC、负惯性指数为0D、各阶顺序主子式均为正数

2.设N阶矩阵A与对角矩阵合同,则A是().A.可逆矩阵 B.实对称矩阵 C.正定矩阵 D.正交矩阵

3.设A1，A2分别为m阶，n阶可逆矩阵，分块矩阵.证明：A可逆，且

4.设A为n阶对称矩阵,则A是正定矩阵的充分必要条件是( ).A.二次型xTAx的负惯性指数零B.存在n阶矩阵C,使得A=CTCC.A没有负特征值D.A与单位矩阵合同

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  • 第1题：

    设n阶矩阵A满足（aE-A）(bE-A)=O且a≠6.证明：A可对角化.


    答案：
    解析：
    【证明】由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者
    |bE-A|=0.又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n.
    同时r（aE-A）+r(bE-A)≥r［(aE-A)-(bE-A)］=r［（a-b）E］=n，
    所以r(aE-A)+r(bE-A)=n.
    (1)若|aE-A|≠0，则r（aE-A=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE.
    (2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE.
    (3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值.
    方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r（aE-A）个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r（aE-A）个；
    方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个.
    因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化.

  • 第2题：

    设A,B都是N阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是.AB=BA


    答案：
    解析：

  • 第3题：

    设Α是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明ΑB可对角化


    答案：
    解析：

  • 第4题：

    试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的


    答案：
    解析：

  • 第5题：

    设A为n阶正定矩阵,证明：对任意的可逆矩阵P,P^TAP为正定矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第6题：

    设A和B都是mn实矩阵,满足r(A+B)=n,证明正定


    答案：
    解析：

  • 第7题：

    设A是n阶矩阵，E+A是可逆矩阵，记，若A按足条件，证明是反对称矩阵。


    答案：
    解析：


  • 第8题：

    设A为m阶正定矩阵,B为m×n阶实矩阵.证明：B^SAB正定的充分必要条件是r(B)=n,


    答案：
    解析：

  • 第9题：

    设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,


    答案：
    解析：

  • 第10题：

    设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第11题：

    设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=0，则( )。

    A.E－A不可逆，E+A不可逆
    B.E—A不可逆。E+A可逆
    C.E—A可逆。E+A可逆
    D.E—A可逆。E十A不可逆

    答案：C
    解析：
    (层_A)(E“+A2)=E-A3趣，(E+A)(E_A+A：)趣+A3翘，故E-A，层+A均可逆。

  • 第12题：

    问答题
    设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量，证明A是对称矩阵。

    正确答案：
    设A的n个两两正交的特征向量为α(→)1,α(→)2,…,α(→)n,其对应的特征值依次为λ1,λ2,…,λn。
    令ξ(→)i=α(→)i/,α(→)i,(i=1,2,…,n),则ξ(→)1,ξ(→)2,…,ξ(→)n是两两正交的单位向量。
    记P=(ξ(→)1,ξ(→)2,…,ξ(→)n),即P是正交矩阵。从而有P-1=PT,P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=Λ,即A=PΛP-1=PΛPT,故AT=(PΛPT)T=(PT)TΛTPT=PΛPT=A,即A是对称矩阵。
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    设A是nxm矩阵，B是mxn矩阵，E是n阶单位阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关。


    答案：
    解析：

  • 第14题：

    设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n，


    答案：
    解析：

  • 第15题：

    设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.


    答案：
    解析：

  • 第16题：

    设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.
    　　(1)证明B可逆；
    　　(2)求AB^-1.


    答案：
    解析：

  • 第17题：

    设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数.记分块矩阵.其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E是n阶单位矩阵. （1）计算并化简PQ； （2）证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是.


    答案：
    解析：

  • 第18题：

    设A,B为n阶正定矩阵.证明：A+B为正定矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第19题：

    设A是m×n阶矩阵,若A^TA=O,证明：A=0.


    答案：
    解析：
    【证明】因为r(A)=r(A^TA)，而A^TA=O，所以r(A)=0，于是A=O.

  • 第20题：

    设n阶矩阵A 满足，其中s≠t，证明A可对角化


    答案：
    解析：

  • 第21题：

    设P为可逆矩阵,A=P^TP.证明：A是正定矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第22题：

    设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A^3=O，则



    A.AE-A不可逆，E+A不可逆
    B.E-A不可逆，E+A可逆
    C.E-A可逆，E+A可逆
    D.E-A可逆，E+A不可逆

    答案：C
    解析：
    判断矩阵A可逆通常用定义，或者用充要条件行列式｜A｜≠0(当然｜A｜≠0又有很多等价的说法).因为(E-A)(E+A+A^2)=E-A^3=E，(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E，所以，由定义知E-A，E+A均可逆.故选(C).

    【评注】本题用特征值也是简捷的，由A^3=OA的特征值λ=0E-A(或E+A)特征值均不为0｜E-A｜≠0(或｜E+A｜≠0)E-A(或E+A)可逆

  • 第23题：

    设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于（ ）。


    答案：D
    解析：

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