试证，若n维向量a与正交，则对于任意实数k，l，有ka与l正交

题目
试证，若n维向量a与正交，则对于任意实数k，l，有ka与l正交

相似考题

1.若方阵A与B相似,则它们____。A.有相同的特征值B.有相同的特征向量C.有两两正交的特征向量

2.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

3.在正交设计中，因子都是二水平，可以选择的正交表有( )。A．L4(23)B．L9(34)C．L16(215)D．L27(313)E．L32(231)

4.设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则()A、A=0B、A=EC、r(A)=nD、0r(A)(n)

更多“试证，若n维向量a与正交，则对于任意实数k，l，有ka与l正交”相关问题

  • 第1题：

    设有一张正交表为：L9(34)，正确的解释是( )。

    A．“L”表示正交表的代号

    B．“9”表示正交表的行数(试验次数)

    C．“3”表示正交表的列数

    D．“4”表示正交表的列数

    E．“4”表示正交表的行数


    正确答案：ABD
    解析：C项，“3”表示主体只有3个不同的数字：1，2，3，在试验中它代表因子水平的编号，即用这张表安排试验时每个因子应取3个不同水平；E项，“9”表示正交表的行数。

  • 第2题：

    下述结论中,不正确的有()

    A.若向量a与β正交，则对任意实数a,b,aα与bβ也正交

    B.若向量β与向量a1,a2都正交，则β与a1,a2的任一线性组合也正交

    C.若向量a与正交，则a,β中至少有一个是零向量

    D.若向量a与任意同维向量正交，则a是零向量.


    参考答案：

  • 第3题：

    正态分布计算所依据的重要性质为（ ）。
    A.设X~N(μ,σ2),则μ= (X-μ)/σ~N(0, 1)
    B.设X~N(μ,σ2),则对任意实数a、b有P(XC.设X~N(μ,σ2),则对任意实数a、b有P(X>a) =1-Φ[(a-μ)/σ]
    D.设X~N(μ,σ2),则对任意实数a、b有P(a


    答案：A,B,C,D
    解析：

  • 第4题：

    设向量组α1,…,αn为两两正交的非零向量组,证明：α1,…,αn线性无关,并举例说明逆命题不成立.


    答案：
    解析：

  • 第5题：

    求一个非零向量a3，使得a3与向量都正交。


    答案：
    解析：

  • 第6题：

    设非零n维列向量α,β正交且A=αβT.证明：A不可以相似对角化.


    答案：
    解析：

  • 第7题：

    设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第8题：

    若A，口是正交矩阵，则下列说法错误的是( )。

    A、AB为正交矩阵
    B、A+B为正交矩阵
    C、A-1B为正交矩阵
    D、AB-1为正交矩阵

    答案：B
    解析：

  • 第9题：

    3维向量组A：α1，α2，…，αM线性无关的充分必要条件是（）．

    • A、对任意一组不全为0的数k1，k2，…，kM，都有后
    • B、向量组A中任意两个向量都线性无关
    • C、向量组A是正交向量组
    • D、αM不能由线性表示

    正确答案:A

  • 第10题：

    单选题
    设向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)s的秩为r，则（　　）。
    A

    必定r＜s

    B

    向量组中任意个数小于r的部分组线性无关

    C

    向量组中任意r个向量线性无关

    D

    若s＞r，则向量组中任意r＋l个向量必线性相关


    正确答案： A
    解析：
    A项，r可能与s相等；
    B项，若r＜s，向量组中可以有两个向量成比例；
    C项，当r小于s/2时，r个向量可能相关；
    D项，任意r＋1个向量若不线性相关，则向量组的秩为r＋1，故必相关。

  • 第11题：

    问答题
    设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量，证明A是对称矩阵。

    正确答案：
    设A的n个两两正交的特征向量为α(→)1,α(→)2,…,α(→)n,其对应的特征值依次为λ1,λ2,…,λn。
    令ξ(→)i=α(→)i/,α(→)i,(i=1,2,…,n),则ξ(→)1,ξ(→)2,…,ξ(→)n是两两正交的单位向量。
    记P=(ξ(→)1,ξ(→)2,…,ξ(→)n),即P是正交矩阵。从而有P-1=PT,P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=Λ,即A=PΛP-1=PΛPT,故AT=(PΛPT)T=(PT)TΛTPT=PΛPT=A,即A是对称矩阵。
    解析： 暂无解析

  • 第12题：

    填空题
    正交表用Ln（Tq）表示。L表示（），t表示（），q表示（），n表示（）。

    正确答案： 正交设计,水平数,因素数,试验
    解析： 暂无解析

  • 第13题：

    设A为n阶实对称矩阵,则().

    A.A的n个特征向量两两正交

    B.A的n个特征向量组成单位正交向量组

    C.A的k重特征值λ0,有r(λ0E-A)=n-k

    D.A的k重特征值λ。，有r(λ0E-A)=k


    参考答案：

  • 第14题：

    3维向量组A：a1，a2，…，am线性无关的充分必要条件是( ).

    A.对任意一组不全为0的数k1，k2，…，km，都有k1a1+k2a2+…+kmam≠0
    B.向量组A中任意两个向量都线性无关
    C.向量组A是正交向量组
    D.

    答案：A
    解析：
    B与D是向量组线性无关的必要条件，但不是充分条件.C是向量组线性无关的充分条件，但不是必要条件.A是向量组线性无关定义的正确叙述，即不存在一组不全为零的数k1，k2，…，km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0.故选A.

  • 第15题：

    求一个与，，都正交的单位向量


    答案：
    解析：

  • 第16题：

    设A为n阶对称矩阵，k为常数.试证kA仍为对称矩阵.


    答案：
    解析：

  • 第17题：

    设x为n维列向量,,令,证明H是对称的正交阵.


    答案：
    解析：

  • 第18题：

    设α1,α2,…,αn为n个线性无关的n维列向量,且与向量β正交.证明：向量β为零向量.


    答案：
    解析：

  • 第19题：

    设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意常数k,l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2,α3线性无关的

    A.A必要非充分条件
    B.充分非必要条件
    C.充分必要条件
    D.既非充分也非必要条件

    答案：A
    解析：

  • 第20题：

    若A，B是正交矩阵，则下列说法错误的是（）。

    • A、AB为正交矩阵
    • B、A+B为正交矩阵
    • C、ATB为正交矩阵
    • D、AB-1为正交矩阵

    正确答案:B

  • 第21题：

    问答题
    在n维行向量组α(→)1，α(→)2，…，α(→)r（r≥2）中，α(→)r≠0，试证：对任意的k1，k2，kr－1，向量组β(→)1＝α(→)1＋k1α(→)r，β(→)2＝α(→)2＋k2α(→)r，…，β(→)r－1＝α(→)r－1＋kr－1α(→)r线性无关的充要条件是α(→)1，α(→)2，…，α(→)r线性无关。

    正确答案：
    (1)必要性
    设l1β(→)1+l2β(→)2+…+lr-1β(→)r-1=0①,即l1(α(→)1+k1α(→)r)+l2(α(→)2+k2α(→)r)+…+lr-1(α(→)r-1+kr-1α(→)r)=0⇒l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)α(→)r=0
    记l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1=lr得
    l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+lrα(→)r=0②
    因为β(→)1,β(→)2,…,β(→)r-1线性无关,所以当且仅当l1=l2=…=lr-1=0时①式成立,即②也成立。又因为α(→)r≠0,所以当且仅当l1=l2=…=lr-1=lr=0时②成立,故α(→)1,α(→)2,…,α(→)r线性无关。
    (2)充分性
    设l1β(→)1+l2β(→)2+…+lr-1β(→)r-1=0,即l1α(→)1+l2α(→)2+…+lr-1α(→)r-1+(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)α(→)r=0。
    因为α(→)1,α(→)2,…,α(→)r线性无关,所以l1=l2=…=lr-1=(l1k1+l2k2+…+lr-1kr-1)=0,故β(→)1,β(→)2,…,β(→)r-1线性无关。
    解析： 暂无解析

  • 第22题：

    单选题
    若A，B是正交矩阵，则下列说法错误的是（）。
    A

    AB为正交矩阵

    B

    A+B为正交矩阵

    C

    ATB为正交矩阵

    D

    AB-1为正交矩阵


    正确答案： A
    解析： 由正交矩阵的定义可知，若A，B正交，则有ATA=I（I为单位阵），BTB=I，则（AB）T（AB）=BTATAB=I，则选项A正确，同理可证明选项C、D也是正交矩阵。而选项B，（A+B）T（A+B）=（AT+BT）（A+B）=2I+BTA+ATB，显然不正确，故选B。

  • 第23题：

    单选题
    下列说法不正确的是（　　）。
    A

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则加入k个n维向量β(→)1，β(→)2，…，β(→)k后的向量组仍然线性无关

    B

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关

    C

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性相关，则加入k个n维向量β(→)1，β(→)2，…，β(→)k后得到的向量组仍然线性相关

    D

    s个n维向量α(→)1，α(→)2，…，α(→)s线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关


    正确答案： A
    解析：
    A项，一个线性无关组加入k个线性相关的向量，新的向量组线性相关；
    B项，线性无关组的延伸组仍为线性无关组；
    C项，线性相关组加入k个向量，无论k个向量是否相关，构成的新的向量组必是线性相关的；
    D项，线性无关组中的任意个组合均是无关的。

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