设A是4×3矩阵，且r(A)=2，而，则r(AB)=_________.

题目

设A是4×3矩阵，且r(A)=2，而

，则r(AB)=_________.

相似考题

1.设A是4×3矩阵,r(A)=3,则下列4个断言中不正确为( ).

2.设A,B都是,n阶矩阵,其中B是非零矩阵,且AB=O,则().A.r(B)=n B.r(B)C.A2-Bz=(A+B)(A-B) D.｜A｜=0

3.设A,B皆为n阶矩阵,则下列结论正确的是().A.AB=O的充分必要条件是A=O或B-O B.AB≠O的充分必要条件是A≠0且B≠0 C.AB=O且r(A)=N,则B=O D.若AB≠0,则｜A｜≠0或｜B｜≠0

4.设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(AB)=r,则().A.r>m B.r=m C.rD.r≥m

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第1题：

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则（）

A.r(A)=r(B)=m
B.r(A)=m r(B)=n
C.r(A)=n r(B)=m
D.r(A)=r(B)=n

答案：A
解析：
第2题：

设A,B是n阶矩阵，且B≠0，满足AB=0，则以下选项中错误的是：
A.r(A)+r(B)≤n B. A =0 或 B =0 C. 0≤r(A)

答案：D
解析：
提示:根据矩阵乘积秩的性质，AB=0，有r(A)+r(B)≤n成立，选项A正确。AB=0，取矩阵的行列式， A B =0， A =0或 B =0，选项B正确。又因为B≠0，B为非零矩阵， r(B)≥1，由上式r(A) + r(B)≤n，推出0≤r(A)
第3题：

设A=,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则r(A)=_______.

答案：1、2
解析：
因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2.
第4题：

设A,B为n阶矩阵,且r(A)+r(B)

答案：
解析：
第5题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则

A.A秩r(A)=m，秩r(B)=m
B.秩r(A)=m，秩r(B)=n
C.秩r(A)=n，秩r(B)=m
D.秩r(A)=n，秩r(B)=n

答案：A
解析：
本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵，知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A)，r(B))，故m≤r(A)，m≤r(B). ①另一方面，A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，又有r(A)≤m，r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m，r(B)=m.所以选(A)
第6题：

设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=O 且r（B）=2，则 |A+4E|=

A.8
B.16
C.2
D.0

答案：B
解析：
第7题：

设A,B是n阶矩阵，且B≠0，满足AB=0，则以下选项中错误的是：
A.r(A)+r(B)≤n B.

A =0 或
B =0
C. 0≤r(
D)

答案：D
解析：
提示根据矩阵乘积秩的性质，AB=0，有r(A)+r(B)≤n成立，选项A正确。AB=0，取矩阵的行列式， A B =0， A =0或 B =0，选项B正确。又因为B≠0，B为非零矩阵， r(B)≥1，由上式r(A) + r(B)≤n，推出0≤r(A)
第8题：

单选题
设A、B为四阶方阵，r（A）=4，r（B）=3，则r[（AB）*]=（　　）.
A
1
B
2
C
3
D
4

正确答案： B
解析：
由r（A）=4，知A^*是满秩矩阵，由r（B）=3，知r（B^*）=1，矩阵与可逆矩阵相乘其秩不变，故有r[（AB）^*]=r（B^*A^*）=r（B^*）=1
第9题：

单选题
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB＝E，则（　　）。
A
r（A）＝m，r（B）＝m
B
r（A）＝m，r（B）＝n
C
r（A）＝n，r（B）＝m
D
r（A）＝n，r（B）＝n

正确答案： C
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m。
由AB＝E有r（AB）＝r（E）＝m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）＝m，r（B）＝m。
第10题：

单选题
设A为4阶方阵，且r（A）＝3，A*为A的伴随矩阵，则r（A*）＝（　　）。
A
1
B
2
C
3
D
4

正确答案： B
解析：
由A是4阶方阵且r（A）＝3，知|A|＝0，又AA^*＝|A|E＝0为A的齐次方程组，则A^*的列向量是齐次方程组Ax(→)＝0(→)的解，故r（A）＋r（A^*）≤4，则r（A^*）≤1。由r（A）＝3知，A至少有一个代数余子式不为0，故A^*≠0，所以r（A^*）＝1。
第11题：

单选题
设A为4阶方阵，且r（A）＝3，A*为A的伴随矩阵，则r（A*）＝（　　）。
A
0
B
1
C
2
D
3

正确答案： B
解析：
由A是4阶方阵且r（A）＝3，知|A|＝0，又AA^*＝|A|E＝0为A的齐次方程组，则A^*的列向量是齐次方程组Ax(→)＝0(→)的解，故r（A）＋r（A^*）≤4，则r（A^*）≤1。由r（A）＝3知，A至少有一个代数余子式不为0，故A^*≠0，所以r（A^*）＝1。
第12题：

单选题
设A、B都是4阶方阵且AB＝0，则r（A）＋r（B）（　　）。
A
≤1
B
≤2
C
≤3
D
≤4

正确答案： C
解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX(→)＝0(→)的解，令r（A）＝r₁，r（B）≤4－r₁，故r（A）＋r（B）≤4。
第13题：

设A为四阶非零矩阵,且r(A^*)=1,则().

A.r(A)=1
B.r(A)=2
C.r(A)=3
D.r(A)=4

答案：C
解析：
因为r(A^*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C).
第14题：

设A是4×3阶矩阵且r(A)=2,B=,则r(AB)=_______.

答案：1、2
解析：
因为|B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2.
第15题：

设A是m×s阶矩阵,.B是s×n阶矩阵,且r(B)=r(AB).证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组.

答案：
解析：
第16题：

设A,B分别为m×n及n×s阶矩阵,且AB=O.证明：r(A)+r(B)≤n,

答案：
解析：
第17题：

设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(XY)表示分块矩阵，则

A.Ar(A AB)=r(A)
B.r(A BA)=r(A)
C.r(A B)=max{r(A),r(B)}
D.r(A B)=r(A^T B^T).

答案：A
解析：
第18题：

设都是n(n≥3）阶非零矩阵，且AB=O，则r（B）=（）

A. 0
B.1
C. 2
D. 3

答案：B
解析：
第19题：

设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（）.《》（）

A.r（A）=m，r（B）=m
B.r（A）=m，r（B）=n
C.r（A）=n，r（B）=m
D.r（A）=n，r（B）=n

答案：A
解析：
设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，因此r（A）≤m，r（B）≤m.由AB=E有r（AB）=r（E）=m，由r（AB）≤min{r（A），r（B）}，知r（A）≥m，r（B）≥m，因此r（A）=m，r（B）=m.
第20题：

填空题
设A、B都是4阶方阵且AB＝0，则r（A）＋r（B）____。

正确答案： ≤4
解析：
由AB＝0，知矩阵B的列向量是方程组AX(→)＝0(→)的解，令r（A）＝r₁，r（B）≤4－r₁，故r（A）＋r（B）≤4。
第21题：

单选题
设A为4阶方阵，且r（A）＝2，A*为A的伴随矩阵，则A*X(→)＝0(→)的基础解系所含的解向量的个数为（　　）。
A
1
B
2
C
3
D
4

正确答案： B
解析：
由r（A）＝2＜4－1＝3，故r（A^*）＝0，即A^*＝0，则方程组A^*X(→)＝0(→)的基础解系含4－0＝4个解向量。
第22题：

填空题
设A为4阶方阵，且r（A）＝3，A*为A的伴随矩阵，则r（A*）＝____。

正确答案： 1
解析：
由A是4阶方阵且r（A）＝3，知|A|＝0，又AA^*＝|A|E＝0为A的齐次方程组，则A^*的列向量是齐次方程组Ax(→)＝0(→)的解，故r（A）＋r（A^*）≤4，则r（A^*）≤1。由r（A）＝3知，A至少有一个代数余子式不为0，故A^*≠0，所以r（A^*）＝1。
第23题：

单选题
设A为3阶方阵，α(→)1，α(→)2，α(→)3是互不相同的3维列向量，且都不是方程组Ax(→)＝0(→)的解，若B＝（α(→)1，α(→)2，α(→)3）满足r（AB）＜r（A），r（AB）＜r（B），则r（AB）等于（　　）。
A
3
B
2
C
1
D
0

正确答案： C
解析：
由于α(→)₁，α(→)₂，α(→)₃不是Ax(→)＝0(→)的解，故AB≠0，所以r（AB）＞0。
又因r（AB）＜r（A），故B不可逆，即r（B）≤2，从而r（AB）＜r（B）≤2，即r（AB）＝1。

设A是4×3矩阵，且r(A)=2，而，则r(AB)=_________.

题目

相似考题

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